수악중독

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 두 상수 $a, b$ 에 대하여 함수$$\mathrm{g}(x) = \begin{cases} -x f(x)-ax^{2} & (x \le 0) \\ \dfrac{1}{4} f(x)-bx^{2} & (x > 0) \end{cases}$$이 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $a+b$ 의 값은? (가) 집합 $\{x | g(x)=-27\}$ 의 원소의 개수는 $2$ 이다.(나) $\{x | g(x)=-27\} \subset \{x | g^{\prime}(x)=0\}$ ① $\dfrac{85}{4}$ ② $\dfrac{87}{4}$ ③ $\dfrac{89}{4}$ ..

수열 $\{a_{n}\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여$$a_{n} = \begin{cases} n & (n \text{ 이 } 5 \text{ 의 배수가 아닌 경우}) \\ -4n+10 & (n \text{ 이 } 5 \text{ 의 배수인 경우}) \end{cases}$$일 때, $20 \le \displaystyle {\sum_{k=1}^{m} a_{k}} 더보기정답 $67$

숫자 $1, 3, 5, 7, 9$ 가 각각 하나씩 적혀 있는 $5$ 개의 흰색 접시와 숫자 $2, 4, 6, 8, 10$ 이 각각 하나씩 적혀 있는 $5$ 개의 검은색 접시가 있다. 이 $10$ 개의 접시를 원 모양의 식탁에 일정한 간격을 두고 원형으로 놓을 때 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) (가) 흰색 접시끼리는 서로 이웃하지 않는다.(나) 서로 이웃한 $2$ 개의 접시에 적혀 있는 수의 곱은 $70$ 이하이다. 더보기정답 $864$

그림과 같이 자연수 $n$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BC}}=4n+2$ 인 사각형 $\mathrm{ABCD}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점을 $\mathrm{P}$, 선분 $\mathrm{BC}$ 의 중점을 $\mathrm{Q}$ 라 하고, 선분 $\mathrm{DQ}$ 가 선분 $\mathrm{AC}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{R}$ 이라 하자. $\angle \mathrm{CAB} = \angle \mathrm{PQR}, \overline{\mathrm{CP}} = \sqrt{15n^{2}+16n+4}, \overline{\mathrm{DR}} : \overline{\mathrm{DC}} = 1 : 2$ 일 때,..

초점이 $\mathrm{F}(p, 0)$ ($p>0$)이고 준선이 $x=-p$ 인 포물선과 점 $\mathrm{F}$ 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $r$ ($r>p$)인 원 $\mathrm{C}$ 가 있다. 원 $\mathrm{C}$ 가 $x$ 축과 만나는 점 중 $x$ 좌표가 양수인 점을 $\mathrm{A}$ 라 하고, 원 $\mathrm{C}$ 가 이 포물선과 만나는 점 중 제$1$사분면에 있는 점을 $\mathrm{P}$ 라 하자. 점 $\mathrm{P}$ 에서 이 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. $\cos(\angle \mathrm{PHF}) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 이고 사각형 $\mathrm{APHF}$ 의 넓이가 $54\sqrt{2..