수악중독

최고차항의 계수가 $1$ 이고 $f(0)=0$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수$$g(x) = \displaystyle{\int_{0}^{x} (f(t) - |f(t)|) \; dt}$$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(4)$ 의 값을 구하시오. (가) $x \ge k$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g^{\prime}(x)=0$ 을 만족시키는 실수의 최솟값이 $2$ 이다.(나) $g(2)=-8$ 더보기정답 $48$

자연수 $k$ 에 대하여 두 함수 $f(x)=2^{x}, g(x)=2 \times 4^{x} + \left (\dfrac{1}{2} \right )^{k}$ 이 있다. 실수 $t$ 에 대하여 직선 $x=t$ 가 두 곡선 $y=f(x), y=g(x)$ 와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A, \; B}$ 라 하자. 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 사이의 거리가 $\dfrac{1}{5}$ 이 되도록 하는 실수 $t$ 의 개수가 $2$ 이고 이 두 실수의 합을 $p$ 라 할 때, $k \times \left (\dfrac{1}{2} \right )^{p}$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $80$

정수 $-1$ 이 적혀 있는 $6$ 장의 카드와 정수 $1$ 이 적혀 있는 $6$ 장의 카드가 있다. 이 $12$ 장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 그림과 같은 $12$ 개의 자리에 각각 한 장씩 놓을 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 수가 적혀 있는 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.) $11$ 이하의 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $n$ 번째 자리에 놓인 카드에 적혀 있는 수와 $(n+1)$ 번째 자리에 놓인 카드에 적혀 있는 수의 곱을 $a_n$ 이라 할 때, $\displaystyle{\sum_{n=1}^{11} a_{n} }= 3$ 이다. 더보기정답 $100$

다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 $k$ 의 값의 합을 구하시오. (단, $k$ 는 $20$ 이하의 자연수이다.) 두 정수 $a, b$ 에 대하여 $\lim_{n \to \infty} |a|(a+b)^{n}$ 의 값과 $\lim_{n \to \infty} |\dfrac{2a+2b-20}{k}|^{n}$ 의 값이 모두 존재하며 $\lim_{n \to \infty} |a|(a+b)^{n} = \lim_{n \to \infty} |\dfrac{2a+2b-20}{k}|^{n}$ 이 되도록 하는 정수 $a, b$ 의 모든 순서쌍 $(a, b)$ 의 개수는 $19$ 이다. 더보기정답 $57$

그림과 같이 두 점 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}^{\prime}(-c, 0)$ ($c>0$)을 초점으로 하는 쌍곡선 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{2a^{2}} = 1$ 이 있다. 이 쌍곡선의 꼭짓점 중 $x$ 좌표가 음수인 점을 $\mathrm{A}$ 라 하고, 점 $\mathrm{F}^{\prime}$ 을 지나고 $x$ 축에 수직인 직선이 이 쌍곡선과 만나는 점 중 제$2$사분면에 있는 점을 $\mathrm{P}$ 라 하자. 점 $\mathrm{A}$ 에서 선분 $\mathrm{PF}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. 두 점 $\mathrm{A, F}$ 를 초점으로 하고 점 $\mathrm{H}$ 를 지나는 타원이 ..