그림과 같이 자연수 $n$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BC}}=4n+2$ 인 사각형 $\mathrm{ABCD}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점을 $\mathrm{P}$, 선분 $\mathrm{BC}$ 의 중점을 $\mathrm{Q}$ 라 하고, 선분 $\mathrm{DQ}$ 가 선분 $\mathrm{AC}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{R}$ 이라 하자. $\angle \mathrm{CAB} = \angle \mathrm{PQR}, \overline{\mathrm{CP}} = \sqrt{15n^{2}+16n+4}, \overline{\mathrm{DR}} : \overline{\mathrm{DC}} = 1 : 2$ 일 때, $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \left (\overline{\mathrm{DR}} - \dfrac{4}{3}n \right ) }= \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)
