자연수 $k$ 에 대하여 두 함수 $f(x)=2^{x}, g(x)=2 \times 4^{x} + \left (\dfrac{1}{2} \right )^{k}$ 이 있다. 실수 $t$ 에 대하여 직선 $x=t$ 가 두 곡선 $y=f(x), y=g(x)$ 와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A, \; B}$ 라 하자. 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 사이의 거리가 $\dfrac{1}{5}$ 이 되도록 하는 실수 $t$ 의 개수가 $2$ 이고 이 두 실수의 합을 $p$ 라 할 때, $k \times \left (\dfrac{1}{2} \right )^{p}$ 의 값을 구하시오.
