수악중독

집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f:X \to X$ 의 개수를 구하시오. 집합 $X$ 의 모든 원소 $x_1, \; x_2$ 에 대하여 $\left | f(x_2) - f(x_1) \right | \le 2$ 이다. 더보기 정답 $146$

숫자 $1, \; 2, \; 3, \; 4$ 가 하나씩 적혀 있는 흰 공 $4$ 개와 숫자 $1$ 이 적혀 있는 검은 공 $3$ 개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 점수로 얻고 꺼낸 공은 주머니에 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $3$ 번 반복하여 얻은 $3$ 개의 점수의 합이 $6$ 일 때, 꺼낸 $3$ 개의 공 중에서 검은 공이 있을 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $136$

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=\dfrac{f(x)}{x^2}$ 라 하자. $\lim \limits_{x \to 3} \dfrac{f(x)+6}{x-3}=4$ 일 때, $g'(3)$ 의 값은? ① $\dfrac{5}{9}$ ② $\dfrac{2}{3}$ ③ $\dfrac{7}{9}$ ④ $\dfrac{8}{9}$ ⑤ $1$ 더보기 정답 ④

두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 이 $$\sum \limits_{n=1}^\infty \left ( \dfrac{a_n}{n} - \dfrac{4n^2}{n^2+3} \right ) = 1, \quad \lim \limits_{n \to \infty} (a_n - 2b_n)=1$$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{4a_n +3a_n^2+1}{2n^2+nb_n+b_n^2}$ 의 값은? (단, $b_n >0$) ① $6$ ② $8$ ③ $10$ ④ $12$ ⑤ $14$ 더보기 정답 ①

매개변수 $t \; (t>0)$ 으로 나타낸 곡선 $$x=2t^2+t, \quad y=\sin \dfrac{\pi}{2}t$$ 위의 점 $(1, \; a)$ 에서의 접선의 기울기는 $m$ 이다. $\dfrac{m}{a}$ 의 값은? ① $\dfrac{\pi}{18}$ ② $\dfrac{\pi}{9}$ ③ $\dfrac{\pi}{6}$ ④ $\dfrac{2}{9}\pi$ ⑤ $\dfrac{5}{18}\pi$ 더보기 정답 ③

함수 $f(x)=(x+k) \ln x$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 $$g \left ( \dfrac{x}{k} \right ) = f^{-1}(x), \quad g(2)=k$$ 를 만족시킬 때, $g'(2)$ 의 값은? (단, $k$ 는 $0$ 이 아닌 상수이다.) ① $\dfrac{e}{5}$ ② $\dfrac{e}{3}$ ③ $e$ ④ $3e$ ⑤ $5e$ 더보기 정답 ②

그림과 같이 길이가 $1$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 에 대하여 점 $\mathrm{P}$ 를 $\angle \mathrm{PAB}=\theta$, $\angle \mathrm{PBA}=3\theta$ 가 되도록 잡고, 세 점 $\mathrm{A, \; B, \; P}$ 를 지나는 원을 $C$ 라 하자. 점 $\mathrm{B}$ 를 포함하지 않는 호 $\mathrm{AP}$ 를 이등분하는 점과 선분 $\mathrm{AP}$ 의 중점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 반지름의 길이를 $f(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{f(\theta)}{\theta}$ 의 값은? $\left (\text{단, } 0 < \theta < \dfrac{\..

그림과 같이 $\overline{\mathrm{A_1B_1}}=2$ 이고 $\angle \mathrm{A_1B_1C_1}=\dfrac{\pi}{3}$ 인 마름모 $\mathrm{A_1B_1C_1D_1}$ 이 있다. 점 $\mathrm{B_1}$ 을 중심으로 하고 점 $\mathrm{A_1}$ 을 지나는 원이 대각선 $\mathrm{B_1D_1}$ 과 만나는 점을 $\mathrm{E_1}$ 이라 하고, $\angle \mathrm{A_1B_1E_1}$ 의 이등분선이 선분 $\mathrm{A_1D_1}$ 과 만나는 점을 $\mathrm{F_1}$ 이라 하자. 호 $\mathrm{A_1C_1}$ 과 네 선분 $\mathrm{B_1C_1, \; B_1E_1, \; A_1F_1, \; E_1F_1}$ 으로 이루어..

$a, \; b$ 가 양수일 때, 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $$f(x)=axe^{-bx^2+b}$$ 과 $t> \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 인 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, \; f(t))$ 에서의 접선이 $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$, 원점 $\mathrm{O}$ 에서 이 접선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. $\angle \mathrm{HOQ} = g(t)$ 라 할 때, 함수 $g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{t \to \frac{\sqrt{3}}{3}+} g(t)=0$ (나) 함수 $g(t)$ 는 최댓값 $\dfrac{\pi}{4}$ 를 갖는다. $\dfrac{g'..

포물선 $y^2=10(x+1)$ 의 초점을 $\mathrm{F}$ 라 하자. 직선 $x=7$ 이 이 포물선과 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{A}$ 라 할 때, 선분 $\mathrm{AF}$ 의 길이는? ① $\dfrac{21}{2}$ ② $\dfrac{23}{2}$ ③ $\dfrac{25}{2}$ ④ $\dfrac{27}{2}$ ⑤ $\dfrac{29}{2}$ 더보기 정답 ①