그림과 같이 길이가 $1$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 에 대하여 점 $\mathrm{P}$ 를 $\angle \mathrm{PAB}=\theta$, $\angle \mathrm{PBA}=3\theta$ 가 되도록 잡고, 세 점 $\mathrm{A, \; B, \; P}$ 를 지나는 원을 $C$ 라 하자. 점 $\mathrm{B}$ 를 포함하지 않는 호 $\mathrm{AP}$ 를 이등분하는 점과 선분 $\mathrm{AP}$ 의 중점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 반지름의 길이를 $f(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{f(\theta)}{\theta}$ 의 값은? $\left (\text{단, } 0 < \theta < \dfrac{\pi}{6} \right )$
① $\dfrac{7}{32}$ ② $\dfrac{1}{4}$ ③ $\dfrac{9}{32}$ ④ $\dfrac{5}{16}$ ⑤ $\dfrac{11}{32}$
