수악중독

$a>0, \; a\ne 1$ 인 실수 $a$ 와 자연수 $n$ 에 대하여 직선 $y=n$ 이 $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{A}_n$, 직선 $y=n$ 이 곡선 $y= \log_a (x-1)$ 과 만나는 점을 $\mathrm{B}_n$ 이라 하자. 사각형 $\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1} \mathrm{A}_{n+1}$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\overline{\mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}}}{S_n} = \dfrac{3}{2a+2}$$ 을 만족시키는 모든 $a$ 의 값의 합은? ① $2$ ② $\dfrac{9}{4}$ ③ $\dfrac{5}{2}..

자연수 $n$ 에 대하여 $x$ 에 대한 부등식 $x^2-4nx-n

함수 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{x^{2n+1}-x}{x^{2n}+1}$$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. $2k-2 \le |x| < 2k$ 일 때, $g(x)=(2k-1) \times f \left (\dfrac{x}{2k-1} \right )$ 이다. (단, $k$ 는 자연수이다.) $0

포물선 $x^2=8y$ 의 초점과 준선 사이의 거리는? ① $4$ ② $\dfrac{9}{2}$ ③ $5$ ④ $\dfrac{11}{2}$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ①

한 초점이 $\mathrm{F}(3, \; 0)$ 이고 주축의 길이가 $4$ 인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 의 점근선 중 기울기가 양수인 것을 $l$ 이라 하자. 점 $\mathrm{F}$ 와 직선 $l$ 사이의 거리는? (단, $a, \; b$ 는 양수이다.) ① $\sqrt{3}$ ② $2$ ③ $\sqrt{5}$ ④ $\sqrt{6}$ ⑤ $\sqrt{7}$ 더보기 정답 ③

포물선 $y^2=4x+4y+4$ 의 초점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$ 인 원이 포물선과 만나는 두 점을 $\mathrm{A}(a, \; b), \; \mathrm{B}(c, \; d)$ 라 할 때, $a+b+c+d$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ②

그림과 같이 두 초점이 $\mathrm{F}(0, \; c), \; \mathrm{F'}(0, -c) \; (c>0)$ 인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{y^2}{4}=-1$ 이 있다. 쌍곡선 위의 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 와 쌍곡선 위의 제$3$사분면에 있는 점 $\mathrm{Q}$ 가 $$\mathrm{\overline{PF'}-\overline{QF'}=5, \quad \overline{PF}=\dfrac{2}{3}\overline{QF}}$$ 를 만족시킬 때, $\mathrm{\overline{PF} + \overline{QF}}$ 의 값은? ① $10$ ② $\dfrac{35}{3}$ ③ $\dfrac{40}{3}$ ④ $15$ ⑤ $\dfrac{50..

장축의 길이가 $6$ 이고 두 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0), \mathrm{F'}(-c, \; 0)\; (c>0)$ 인 타원을 $C_1$ 이라 하자. 장축의 길이가 $6$ 이고 두 초점이 $\mathrm{A}(3, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0)$ 인 타원을 $C_2$ 라 하자. 두 타원 $C_1$ 과 $C_2$ 가 만나는 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 $\cos (\angle \mathrm{AFP})=\dfrac{3}{8}$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{PFA}$ 의 둘레의 길이는? ① $\dfrac{11}{6}$ ② $\dfrac{11}{5}$ ③ $\dfrac{11}{4}$ ④ $\dfrac{11}{3}$ ⑤ $\dfr..

그림과 같이 꼭짓점이 원점 $\mathrm{O}$ 이고 초점이 $\mathrm{F}(p, \; 0) \; (p>0)$ 인 포물선이 있다. 점 $\mathrm{F}$ 를 지나고 기울기가 $-\dfrac{4}{3}$ 인 직선이 포물선과 만나는 점 중 제 $1$사분면에 있는 점을 $\mathrm{P}$ 라 하자. 직선 $\mathrm{FP}$ 위의 점을 중심으로 하는 원 $C$ 가 점 $\mathrm{P}$ 를 지나고, 포물선의 준선에 접한다. 원 $C$ 의 반지름의 길이가 $3$ 일 때, $25p$ 의 값을 구하시오. (단, 원 $C$ 의 중심의 $x$ 좌표는 점 $\mathrm{P}$ 의 $x$ 좌표보다 작다.) 더보기 정답 $96$

그림과 같이 두 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0) \; (c>0)$ 인 타원 $C$ 가 있다. 타원 $C$ 가 두 직선 $x=c, \; x=-c$ 와 만나는 점 중 $y$ 좌표가 양수인 점을 각각 $\mathrm{A, \; B}$ 라 하자. 두 초점이 $\mathrm{A, \; B}$ 이고 점 $\mathrm{F}$ 를 지나는 쌍곡선이 직선 $x=c$ 와 만나는 점 중 $\mathrm{F}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{P}$ 라 하고, 이 쌍곡선이 두 직선 $\mathrm{BF, \; BP}$ 와 만나는 점 중 $x$ 좌표가 음수인 점을 각각 $\mathrm{Q, \; R}$ 라 하자. 세 점 $\mathrm{P, \; Q, \; R}$ 가 다..