수악중독

세 양수 $a, \; b, \; k$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)= \begin{cases} ax & (x \lt k) \\ -x^2+4bx-3b^2 & (x \ge k) \end{cases}$$ 라 하자. 함수 $f(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $a=1$ 이면 $f'(k)=1$ 이다. ㄴ. $k=3$ 이면 $a=-6+4\sqrt{3}$ 이다. ㄷ. $f(k)=f'(k)$ 이면 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\dfrac{1}{3}$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ⑤

모든 항이 자연수인 수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+2} = \begin{cases} a_{n+1}+a_n & (a_{n+1}+a_n\text{이 홀수인 경우}) \\[10pt] \dfrac{1}{2}(a_{n+1}+a_n) & (a_{n+1}+a_n\text{이 짝수인 경우})\end{cases}$$ 를 만족시킨다. $a_1=1$ 일 때, $a_6 = 34$ 가 되도록 하는 모든 $a_2$ 의 값의 합은? ① $60$ ② $64$ ③ $68$ ④ $72$ ⑤ $76$ 더보기 정답 ③

$\log_2 96 - \dfrac{1}{\log_6 2}$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $4$

직선 $y=4x+5$ 가 곡선 $y=2x^4-4x+k$ 에 접할 때, 상수 $k$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $11$

$n$ 이 자연수일 때, $x$ 에 대한 이차방정식 $$x^2-5nx+4n^2=0$$ 의 두 근을 $\alpha_n, \; \beta_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^7 (1-\alpha_n)(1-\beta_n)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $427$

시각 $t=0$ 일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 의 시각 $t \; (t \ge 0)$ 에서의 속도가 각각 $$v_1(t)=3t^2-15t+k, \quad v_2(t)=-3t^2+9t$$ 이다. 점 $\mathrm{P}$ 와 점 $\mathrm{Q}$ 가 출발한 후 한 번만 만날 때, 양수 $k$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $18$

최고차항의 계수가 $1$ 이고 $f(0)=1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 양의 실수 $p$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $g'(0)=0$ (나) $g(x)=\begin{cases} f(x-p)-f(-p) & (x \lt 0) \\ f(x+p)-f(p) & (x \ge 0) \end{cases}$ $\displaystyle \int_0^p g(x) dx = 20$ 일 때, $f(5)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $66$

그림과 같이 $1$ 보다 큰 두 실수 $a, \; k$ 에 대하여 직선 $y=k$ 가 두 곡선 $y=2 \log_a x +k, \; y=a^{x-k}$ 과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A, \; B}$ 라 하고, 직선 $x=k$ 가 두 곡선 $y=2\log_a x+k, \; y=a^{x-k}$ 과 만나는 점을 각각 $\mathrm{C, \; D}$ 라 하자. $\mathrm{\overline{AB} \times \overline{CD}=85}$ 이고 삼각형 $\mathrm{CAD}$ 의 넓이가 $35$ 일 때, $a+k$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $12$

최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$ 가 있다. 실수 $t$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=|f(x)-t|$ 라 할 때, $\lim \limits_{x \to k} \dfrac{g(x)-g(k)}{|x-k|}$ 의 값이 존재하는 서로 다른 실수 $k$ 의 개수를 $h(t)$ 라 하자. 함수 $h(t)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{t \to 4+} h(t)=5$ (나) 함수 $h(t)$ 는 $t=-60$ 과 $t=4$ 에서만 불연속이다. $f(2)=4$ 이고 $f'(2) \gt 0$ 일 때, $f(4)+h(4)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $729$

$5$ 명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 모두 둘러앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) ① $16$ ② $20$ ③ $24$ ④ $28$ ⑤ $32$ 더보기 정답 ③ $(5-1)!=4!=24$