수악중독

다음은 다항식 $3x^3-7x^2+5x+1$ 을 $3x-1$ 로 나눈 몫과 나머지를 구하기 위하여 조립제법을 이용하는 과정이다. 조립제법을 이용하면 이므로 $\begin{aligned}3x^3-7x^2+5x_1 &= \left ( x- \dfrac{1}{3} \right ) \left (\; \boxed{ (가) } \; \right ) +2 \\ &=(3x-1) \left ( \; \boxed{ (나) } \; \right ) + 2 \end{aligned}$ 이다. 따라서, 몫은 $\boxed{ (나) }$ 이고, 나머지는 $2$ 이다. 위의 (가), (나)에 들어갈 식을 각각 $f(x), \; g(x)$ 라 할 때, $f(2)+g(2)$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5..

$x-y=2, \; x^3-y^3=12$ 일 때, $xy$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{3}$ ② $\dfrac{2}{3}$ ③ $1$ ④ $\dfrac{4}{3}$ ⑤ $\dfrac{5}{3}$ 더보기 정답 ②

직선 $y=-x+a$ 가 이차함수 $y=x^2+bx+3$ 의 그래프에 접하도록 하는 $a$ 의 최댓값은? (단, $a, \; b$ 는 실수이다.) ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ③

자동차의 엔진 속에는 원기둥 모양의 실린더가 있다. 실린더의 지름과 높이를 각각 보어와 스트로크라 하고, 실린더가 흡입할 수 있는 최대 기체의 양을 배기량이라 한다. 보어가 $R(\mathrm{mm})$, 스트로크가 $H(\mathrm{mm})$, 실린더의 개수가 $M$(개)인 자동차의 총 배기량을 $W(\mathrm{cc})$ 라 할 때, 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. $$W=\pi \left (\dfrac{R}{2} \right )^2 \dfrac{HM}{1000}$$ 두 자동차 $A, \; B$ 에 대하여 $A$ 의 보어는 $B$ 의 보어의 $\dfrac{2}{3}$ 배이고, $A$ 의 스트로크는 $B$ 의 스트로크의 $\dfrac{9}{8}$ 배이다.실린더의 개수가 같은 두 자동차 $A,..

$i+2i^2+3i^3+4i^4+5i^5=a+bi$ 일 때, $3a+2b$ 의 값을 구하시오. (단, $i=\sqrt{-1}$ 이고, $a, \; b$ 는 실수이다.) 더보기 정답 $12$ $i+2i^2+3i^3+4i^4+5i^5=i-2-3i+4+5i=2+3i=a+bi$ $\therefore a=2, \; b=3$ $3a+2b=6+6=12$

$(3x+ay)^3$ 의 전개식에서 $x^2y$ 의 계수가 $54$ 일 때, 상수 $a$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $2$ $(3x+ay)^3=27x^3+27ax^2y+9a^2xy^2+a^3y^3$ $27a=54 \quad \to \quad \therefore a=2$

$(2020+1)\left (2020^2 -2020+1 \right )$ 을 $2017$ 로 나눈 나머지를 구하시오. 더보기 정답 $28$

이차항의 계수가 $1$ 인 이차다항식 $f(x)$ 에 대하여 $f(x)+2$ 는 $x+2$ 로 나누어떨어지고, $f(x)-2$ 는 $x-2$ 로 나누어떨어질 때, $f(10)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $106$

$x$ 에 대한 이차방정식 $x^2+4x+a=0$ 이 실근을 갖도록 하는 자연수 $a$ 의 개수는? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ④ 주어진 이차방정식의 판별식을 $D$ 라 하면 $\dfrac{D}{4}=4-a \ge 0$ $\therefore a \le 4$ 따라서 자연수 $a$ 의 개수는 $4$개다.

다항식 $P(x)$ 를 $x^2+2x-3$ 으로 나눈 나머지가 $2x+5$ 일 때, $P(x)$ 를 $x-1$ 로 나눈 나머지는? ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ⑤ 다항식 $P(x)$ 를 $x^2+2x-3$ 으로 나눈 몫을 $Q(x)$ 라고 하면 $\begin{aligned}P(x)&=\left (x^2+2x-3 \right )Q(x)+2x+5\\ &=(x+3)(x-1)Q(x)+2x+5\end{aligned}$ 이고, 이 등식은 $x$ 에 대한 항등식이 된다. $P(x)$ 를 $x-1$ 로 나눈 나머지는 $P(1)$ 이므로 위 항등식에 $x=1$ 을 대입하면 $P(1)= 7$ 이다.