수악중독

$a_1=3, \; a_2=6$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 과 모든 항이 양수인 수열 $\{b_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n a_k (b_k)^2=n^3-n+3$$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_nb_{2n}}$ 의 값은? ① $\dfrac{3}{2}$ ② $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ ③ $3$ ④ $3\sqrt{2}$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ②

자연수 $n$ 에 대하여 직선 $y=2nx$ 가 곡선 $y=x^2+n^2-1$ 과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{A}_n, \; \mathrm{B}_n$ 이라 하자. 원 $(x-2)^2+y^2=1$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 삼각형 $\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{P}$ 의 넓이가 최대가 되도록 하는 점 $\mathrm{P}$ 를 $\mathrm{P}_n$ 이라 할 때, 삼각형 $\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{P}_n$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 하자. $\lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{S_n}{n}$ 의 값은? ① $2$ ② $4$ ③ $6$ ④ $8$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ③

자연수 $n$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=\dfrac{4}{n^3} x^3 +1$$ 이라 하자. 원점에서 곡선 $y=f(x)$ 에 그은 접선을 $l_n$, 접선 $l_n$ 의 접점을 $\mathrm{P}_n$ 이라 하자. $x$ 축과 직선 $l_n$ 에 동시에 접하고 점 $\mathrm{P}_n$ 을 지나는 원 중 중심의 $x$ 좌표가 양수인 것을 $C_n$ 이라 하자.원 $C_n$ 의 반지름의 길이를 $r_n$ 이라 할 때, $40 \times \lim \limits_{n \to \infty} n^2 (4r_n-3)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $270$

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 자연수 $m$ 에 대하여 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 정의된 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{f(x)\left (\dfrac{x}{m} \right )^n +x}{\left (\dfrac{x}{m} \right )^n+1}$$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 는다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 미분가능하고, $g'(m+1) \le 0$ 이다. (나) $g(k)g(k+1)=0$ 을 만족시키는 자연수 $k$ 의 개수는 $3$ 이다. (다) $g(l) \ge g(l+1)$ 을 만족시키는 자연수 $l$ 의 개수는 $3$ 이다...

두 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0) \; (c>0)$ 이고 장축의 길이가 $18$ 인 타원을 $C_1$ 이라 하자. 점 $\mathrm{F}$ 를 지나고 $x$ 축에 수직인 직선이 타원 $C_1$ 과 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{A}$ 라 하고 두 초점이 $\mathrm{F}$, $\mathrm{A}$ 이고 점 $\mathrm{P}(9, \; 0)$ 을 지나는 타원을 $C_2$ 라 하자. 두 타원 $C_1$, $C_2$ 가 만나는 점 중 점 $\mathrm{P}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. $\cos (\angle \mathrm{FF'A})=\dfrac{12}{13}$ 일 때, $\overline{\math..

포물선 $x^2=ay \; (a>0)$ 이 두 포물선 $$C_1 : y^2=8x, \quad C_2 : y^2=-x$$ 와 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 각각 $\mathrm{P, \; Q}$ 라 하고, 두 포물선 $C_1, \; C_2$ 의 초점을 각각 $\mathrm{F_1, \; F_2}$ 라 하자. 직선 $\mathrm{PQ}$ 의 기울기가 $2\sqrt{2}$ 일 때, $\overline{\mathrm{F_1P}}+\overline{\mathrm{F_2Q}}=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $29$

그림과 같이 두 점 $\mathrm{F}(c, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0)$ 을 초점으로 하고 주축의 길이가 $6$ 인 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선이 선분 $\mathrm{FF'}$ 을 지름으로 하는 원과 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{P}$ 라 하자. 선분 $\mathrm{F'P}$ 가 쌍곡선과 만나는 점 중 점 $\mathrm{P}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하고, 선분 $\mathrm{FQ}$ 가 쌍곡선과 만나는 점 중 $\mathrm{Q}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{R}$ 이라 하자. 점 $\mathrm{Q}$ 가 선분 $\mathrm{F'P}$ 를 $1:2$ 로 내분할 때, 삼각형 $\mathrm{QF'R}$ 의 넓이를 $S$ 라 ..

안녕하세요 수악중독입니다. 네이버에 수악중독 유투브 채널의 유료 회원들을 위한 질문 카페가 있습니다. 가입시에는 본인의 유투브 채널 명을 적어주셔야 하는데, 대부분의 가입 신청자 분들이 1) 유투브 채널 없음 2) "수악중독" 위와 같이 적어서 가입신청을 하시네요. 유투브에 가입이 되어있다면 채널이 자동으로 생성됩니다. 즉, 본인이 채널 생성을 하지 않았다고 하더라도 본인의 채널이 존재하는 것입니다. 채널명을 확인하는 방법을 알려 드리겠습니다. 유투브에 접속을 하시면 오른쪽 위에 자신의 프로필 사진이 보일겁니다. (프로필 사진을 등록하지 않으신 분들은 그냥 색깔이 칠해진 동그라미가 보일 겁니다.) 그걸 클릭하시면 아래 그림과 같이 메뉴가 나타나고, 거기에 "내 채널 보기" 라는 항목이 있습니다. "내 채..

개념 정리 1. 이산확률변수의 확률분포 2. 연속확률변수의 확률분포 3. 이산확률변수의 기댓값 4. 이산확률변수의 분산과 표준편차 5. 이산확률변수의 평균, 분산, 표준편차의 성질 6. 이항분포 7. 이항분포의 평균, 분산, 표준편차 8. 큰 수의 법칙 9. 정규분포 10. 표준정규분포 11. 정규분포의 표준화 12. 이항분포와 정규분포의 관계 13. 모집단과 표본집단 14. 표본평균의 평균, 분산, 표준편차 15. 표본평균의 분포 16. 모평균의 추정 (1) 17. 모평균의 추정 (2) 유형 정리 1. 이산확률변수와 이산확률분포 2. 이산확률변수의 평균과 분산 3. 이산확률변수의 평균과 분산의 성질 4. 이항분포의 평균과 분산 5. 연속확률변수와 연속확률분포 6. 정규분포와 정규분포의 표준화 7. 두 ..

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 함수 $f(x)$ 에 대하여 $$f(k-1)f(k+1)