수열의 극한 활용_난이도 상 (2024년 3월 전국연합 고3 미적분 29번)

 

 

자연수 $n$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=\dfrac{4}{n^3} x^3 +1$$ 이라 하자. 원점에서 곡선 $y=f(x)$ 에 그은 접선을 $l_n$, 접선 $l_n$ 의 접점을 $\mathrm{P}_n$ 이라 하자. $x$ 축과 직선 $l_n$ 에 동시에 접하고 점 $\mathrm{P}_n$ 을 지나는 원 중 중심의 $x$ 좌표가 양수인 것을 $C_n$ 이라 하자.원 $C_n$ 의 반지름의 길이를 $r_n$ 이라 할 때, $40 \times \lim \limits_{n \to \infty} n^2 (4r_n-3)$ 의 값을 구하시오. 

 

 

정답 $270$