수악중독

이차정사각행렬 \(A\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(A^3+E=O\) (나) \(A+E\) 의 역행렬이 존재한다. 행렬 \((A-E)^{60}\) 의 모든 성분의 합을 구하시오. (단, \(E\) 는 단위행렬이다.) 정답 \(2\)

두 행렬 \(A= \left ( \matrix{1 & -1 \\ 1 & 0} \right ) , \;\; B=\left ( \matrix{1 & 1 \\ -1 & 0} \right ) \) 에 대하여 \(S=\{ X \;|\; X=A^n,\; n은 \; 자연수 \}\) \(T=\{ Y \;|\; Y=B^n,\; n 은 \; 자연수 \}\) 라 하자. 에서 옳은 것만을 모두 고르면? ㄱ. \(X \in S\) 이면 \(X^2 \in S\) 이다. ㄴ. \(X \in S, \; Y \in T\) 이면 \(XY \in S\) 이다. ㄷ. \(Y \in T\) 이면 \(Y\) 는 항상 역행렬을 갖는다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

두 이차정사각행렬 \(A, \;B\) 에 대하여 \(AB-BA=\left ( \matrix{ p & q \\ r & s} \right )\) 라 할 때, 에서 항상 옳은 것만을 모두 고른 것은? ㄱ. \(A=\left ( \matrix{1 & 1 \\ 0 & 0} \right ) \) 이면 \(ps-qr=0\) 이다. ㄴ. 모든 이차정사각행렬 \(A, \;B\) 에 대하여 \(p+s=0\) 이다. ㄷ. 행렬 \(AB-BA\) 가 영행렬이면 \(B\) 는 \(A\) 의 역행렬이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②

\(x, \;y\) 에 대한 연립방정식 \( \left ( \matrix { a-1 & 1 \\ b-4 & 1-a} \right ) \left ( \matrix {x \\ y} \right ) = \left ( \matrix { 0 \\ 0} \right )\) 이 \(x=y=0\) 이외의 해를 갖도록 하는 두 실수 \(a, \;b\) 에 대하여 \(a+b\) 의 최댓값은? ① \(\dfrac{21}{4}\) ② \(\dfrac{11}{2}\) ③ \(\dfrac{23}{4}\) ④ \(6\) ⑤ \(\dfrac{25}{4}\) 정답 ①

단위행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 \(A,\;B\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(A, \;B\) 는 모두 역행렬을 가진다. (나) \(BAB=E,\; ABA=A^{-1}\) \(A^n=E\) 가 성립하는 자연수 \(n\) 의 최솟값은? (단, \(E\) 는 단위행렬이다.) ① \(3\) ② \(4\) ③ \(5\) ④ \(6\) ⑤ \(7\) 정답 ③

수직선 위의 서로 다른 두 점 \({\rm A}(a), \; {\rm B}(b)\) 에 대하여 선분 \(\rm AB\) 를 \(2:1\) 로 내분하는 점과 외분하는 점을 각각 \({\rm P}(c),\; {\rm Q}(d)\) 라 하자. 행렬 \(\left ( \matrix {a & b \\ c& d} \right )\) 의 역행렬이 존재하지 않을 때, \(\dfrac{b}{a}\) 의 값은? ① \(2\) ② \(\dfrac{3}{2}\) ③ \(\dfrac{3}{4}\) ④ \(\dfrac{2}{3}\) ⑤ \(\dfrac{1}{2}\) 정답 ②

두 부등식 \(x>0,\; y>x\) 의 영역에 속하는 점 \({\rm P}(a, \;b)\) 에서 두 직선 \(y=x, \; y=-x\) 에 이르는 거리를 각각 \(c,\;d\) 라 하자. 이차정사각행렬 \(M\) 인 \(M \left ( \matrix {a \\ b} \right ) = \left ( \matrix { c \\ d} \right )\) 를 만족할 때, 행렬 \(M+M^{-1}\) 의 모든 성분의 합은? ① \(1\) ② \(\sqrt{2}\) ③ \(2\) ④ \(2\sqrt{2}\) ⑤ \(\sqrt{3}\) 정답 ④

좌표공간에 있는 원기둥이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 높이는 \(8\) 이다. (나) 한 밑면의 중심은 원점이고 다른 밑면은 평면 \(z=10\) 과 오직 한 점 \((0,\;0,\;10)\) 에서 만난다. 이 원기둥의 한 밑면의 평면 \(z=10\) 위로의 정사영의 넓이는? ① \(\dfrac{139}{4}\pi\) ② \(\dfrac{144}{5}\pi\) ③ \(\dfrac{149}{5}\pi\) ④ \(\dfrac{154}{5}\pi\) ⑤ \(\dfrac{159}{5}\pi\) 정답 ②

같은 평면 위에 있지 않고 서로 평행한 세 직선 \(l, \;m,\;n\) 이 있다. 직선 \(l\) 위의 두 점 \(\rm A, \;B\), 직선 \(m\) 위의 점 \(\rm C\), 직선 \(n\) 위의 점 \(\rm D\) 가 조건을 만족시킨다. (가) \(\overline{\rm AB}=2\sqrt{2},\; \overline{\rm CD}=3\) (나) \(\overline{\rm AC} \bot l, \; \overline{\rm AC}=5\) (다) \(\overline{\rm BD} \bot l, \; \overline{\rm BD}=4\sqrt{2}\) 두 직선 \(m,\;n\) 을 포함하는 평면과 세 점 \(\rm A, \;C,\;D\) 를 포함하는 평면이 이루는 각의 크기를 \(\t..

그림과 같이 \(\overline{\rm AB}=9,\; \overline{\rm AD}=3\) 인 직사각형 \(\rm ABCD\) 모양의 종이가 있다. 선분 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm E\) 와 선분 \(\rm DC\) 위의 점 \(\rm F\) 를 연결하는 선을 접는 선으로 하여, 점 \(\rm B\) 의 평면 \(rm AEFD\) 위로의 정사영이 점 \(\rm D\) 가 되도록 종이를 접었다. \(\overline{\rm AE}=3\) 일 때, 두 평면 \(\rm AEFD\) 와 \(\rm EFCB\) 가 이루는 각의 크기가 \(\theta\) 이다. \(60 \cos \theta\) 의 값을 구하시오. (단, \(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\) 이고 종이의 두께는..