수악중독

행렬 \(A=\left ( \matrix{0 & 1 \\ -1 & 1} \right )\) 에 대하여 자연수 \(m,\;n\) 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(A^m=A^n\) (나) \(m,\; n\) 은 \(100\) 이하의 서로 다른 자연수이다. \( |m-n|\) 의 최댓값을 \(p\), 최솟값을 \(q\) 라 할 때, \(p+q\) 의 값을 구하여라. 정답 \(102\)

행렬 \(A=\left ( \matrix{1 & 1 \\ 2 & 2} \right )\) 에 대하여 행렬 \(A^n\) 의 모든 성분의 합을 \(f(n)\) 이라 하자. \(\sum \limits_{n=1}^{10} f(n)\) 의 값은? ① \(3^{11}+3\) ② \(3^{11}\) ③ \(3^{11}-3\) ④ \(3^{10}+3\) ⑤ \(3^{10}-3\) 정답 ③

행렬 \(A = \left ( \matrix { 3 & 1 \\ -3 & -1} \right ) \) 일 때, \(A^{10}=kA\) 를 만족하는 실수 \(k\) 의 값을 구하시오. 정답 \(512\)

이차정사각행렬 \(A\) 의 \(i,\;j)\) 성분을 \(a_{ij}= \sin \left \{ \dfrac{(i+j)}{2}+\theta \right \} \) 로 정의하자. 행렬 \(A\) 의 모든 성분의 합이 \(1\) 일 때, \(\theta\) 의 값은? (단, \(0 \leq \theta \leq \pi\) 이다. ① \(\dfrac{\pi}{6}\) ② \(\dfrac{\pi}{3}\) ③ \(\dfrac{\pi}{2}\) ④ \(\dfrac{2}{3}\pi\) ⑤ \(\dfrac{3}{4}\pi\) 정답 ④

실수 \(t\) 에 대하여 열린구간 \((t-1,\;t+1)\) 에서 함수 \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}1&{\left( {x \ne 0} \right)}\\2&{\left( {x = 0} \right)}\end{array}} \right.\] 의 불연속인 점의 개수를 \(g(t)\) 라 하자. 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(g(0)=1\) ㄴ. \(\lim \limits_{x \to 1-0} g(x) + \lim \limits_{x \to -1+0} g(x)=2\) ㄷ. 함수 \(\dfrac{g(x)}{f(x)}\) 는 \(x=0\) 에서 연속이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②

직선 \(y=1+\dfrac{1}{n}\) 이 두 곡선 \(y=2^x,\; y=4^x\) 과 만나는 점을 각각 \({\rm P}_n,\; {\rm Q}_n \; (n=1, \;2,\;3,\; \cdots)\) 이라 하자. \(\sum \limits_{k=1}^{m} \overline{{\rm P}_k {\rm Q}_k}=2\) 일 때, 자연수 \(m\) 의 값은? ① \(7\) ② \(8\) ③ \(9\) ④ \(15\) ⑤ \(16\) 정답 ④

두 집합 \[A= \left \{ (x, \;y) \; \left | \; \left ( \matrix {k+1 & 3 \\ 1 & k-1} \right ) \left ( \matrix { x \\ y} \right ) = \left ( \matrix{1 \\ -1 } \right ) ,\; x,\;y,\;k 는\; 실수 \right. \right \}\] \[B= \left \{ (x, \;y) \; \left | \; \left ( \matrix {1 & 2 \\ -2 & -4} \right ) \left ( \matrix { x \\ y} \right ) = \left ( \matrix{1 \\ -2 } \right ) ,\; x,\;y 는\; 실수 \right. \right \}\] 에 대하여 \..

그림과 같이 한 모서리의 길이가 \(5\) 인 정육면체 \( \rm ABCD-EFGH\) 에서 \(\overline{\rm EF}\) 의 중점을 \(\rm M\) 이라 하자. 평면 \(\rm DCGH\) 위의 동점 \(\rm P\), \(\overline{\rm BM}\) 위의 동점 \(\rm Q\) 에 대하여 \(\overline{\rm AP}+ \overline{\rm PQ}\) 의 최솟값을 \(m\) 이라 할 때, \(m^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(120\)

중심이 \(\rm O\) 이고 반지름이 \(4\) 인 구 위의 네 점 \(\rm A,\;B,\;C,\;D\) 가 \[\overline{\rm AB}=\overline{\rm CD}=2\sqrt{3},\;\; \overline{\rm AB} \parallel \overline{\rm CD} ,\;\; \overline{\rm AD}=6\] 을 만족시킬 때 사각뿔 \(\rm O-ABCD\) 의 부피를 구하면? ① \(2\sqrt{3}\) ② \(4\sqrt{3}\) ③ \(6\sqrt{3}\) ④ \(8\sqrt{3}\) ⑤ \(10\sqrt{3}\) 정답 ④

중심이 \(\rm O\) 이고 반지름이 \(3\) 인 구 \(S\) 위의 두 점 \(\rm A, \;B\) 와 \(S\) 위에 있지 않은 점 \(\rm P\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\overline{\rm AB}=2\sqrt{3}\) (나) 두 직선 \(\rm AP, \; BP\) 는 구 \(S\) 와 접한다. (다) 평면 \(\rm OAP\) 와 평면 \(\rm OBP\) 는 서로 수직이다. 평면 \(\rm ABP\) 와 평면 \(\rm OBP\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(20 \tan^2 \theta\) 의 값을 구하시오. 정답 \(30\)