수악중독

좌표공간에서 구 \((x-3)^2+(y-2)^2+(z+2)^2=6\) 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 가 있다. 점 \(\rm P\) 를 \(x\) 축의 양의 방향으로 \(2\) 만큼 평행이동한 점을 \(\rm Q\) 라 할 때, \(\overrightarrow{\rm OP}\cdot \overrightarrow{\rm OQ}\) 의 값이 최대가 되도록 하는 점 \(\rm P\) 의 좌표는 \((a, \;b,\;c)\) 이다. \(a^2+b^2+c^2\) 의 값은? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) ① \(11\) ② \(19\) ③ \(27\) ④ \(35\) ⑤ \(43\) 정답 ⑤

정의역이 \(\left \{ x | -\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2} \right \}\) 인 함수 \(f(x)=\dfrac{1}{2} \left | \tan x \right |\) 가 있다. \(y\) 축 위의 점 \({\rm A}(0,\;t)\)와 곡선 \(y=f(x)\) 위의 임의의 두 점 \(\rm P, \;Q\) 에 대하여 항상 \(\overrightarrow{\rm PA}\cdot \overrightarrow{\rm AQ}\leq 0\) 가 성립하도록 하는 실수 \(t\) 의 최댓값은 \(a+b \pi\) 이다. \(80(a-b)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(60\)

평면에서 한 점 \(\rm P\) 에서 만나는 두 삼각형 \(\rm ABP, \; CDP\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\overline{\rm AP}=\overline{\rm BP}=2\sqrt{2}\) (나) \(\overline{\rm CP}=\overline{\rm DP}=2\sqrt{5}\) (다) \(\angle \rm APB=\angle \rm CPD=\dfrac{\pi}{4}\) 두 벡터 \(\overrightarrow{\rm AD}, \; \overrightarrow{\rm BC}\) 에 대하여 \(\overrightarrow{\rm AD} \cdot \overrightarrow{\rm BC}=18\sqrt{2}\) 이다. \(\angle \rm APC=\theta\) 라 할..

다음은 연속함수 \(y=f(x)\) 의 그래프와 이 그래프 위의 서로 다른 두 점 \({\rm P}(a,\;f(a)), \;\; {\rm Q}(b, \;f(b))\) 를 나타낸 것이다. 함수 \(F(x)\) 가 \(F'(x)=f(x)\) 를 만족시킬 때, 다음 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. 함수 \(F(x)\) 는 구간 \([a,\;b]\) 에서 증가한다. ㄴ. \(\dfrac{F(b)-F(a)}{b-a}\) 는 직선 \(\rm PQ\) 의 기울기와 같다. ㄷ. \(\displaystyle \int_{a}^{b} {f(x)-f(b)} dx \leq \dfrac{(b-a)\{ f(a)-f(b) \}}{2}\) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

연속함수 \(y=f(x)\) 는 구간 \([a,\;t]\) 에서 \(f(x)>0\) 이다. 곡선 \(y=f(x)\) 와 \(x\) 축 및 두 직선 \(x=a,\; x=t\) 로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S(t)\) 라 할 때, \(\lim \limits_{t \to a} \dfrac{S(t)}{t-a}\) 의 값은? (단, \(a

곡선 \(y=6x^2+1\) 과 \(x\) 축 및 두 직선 \(x=1-h,\; x=1+h\;(h>0)\) 로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S(h)\) 라 할 때, \(\lim \limits_{h \to +0} \dfrac{S(h)}{h}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(14\)

다항함수 \(f(x)\) 가 \(\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{\displaystyle \int_{1}^{x} f(t) dt-f(x)}{x^2-1}=2\) 를 만족할 때, \(f'(1)\) 의 값은? ① \(-4\) ② \(-3\) ③ \(-2\) ④ \(-1\) ⑤ \(0\) 정답 ①

그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 \(\rm A(2,\;0), \; B(0,\;3)\) 을 지나는 직선과 곡선 \(y=ax^2 \;(a>0)\) 및 \(y\) 축으로 둘러싸인 부분 중에서 제\(1\)사분면에 있는 부분의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 또, 직선 \(AB\)와 곡선 \(y=ax^2\) 및 \(x\) 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S_2\) 라 하자. \(S_1 :S_2=13:3\) 일 때, 상수 \(a\) 의 값은? ① \(\dfrac{2}{9}\) ② \(\dfrac{1}{3}\) ③ \(\dfrac{4}{9}\) ④ \(\dfrac{5}{9}\) ⑤ \(\dfrac{2}{3}\) 정답 ②

그림과 같이 두 점 \(\rm P, \;Q\) 는 각각 \((2, \;0), \;(0, \;-1)\) 에서 동시에 출발하여 점 \(\rm P\) 는 매초 \(3\) 의 속도로 \(x\) 축의 양의 방향으로 움직이고, 점 \(\rm Q\) 는 매초 \(1\) 의 속도로 \(y\) 축의 양의 방향으로 움직이고 있다. 출발할 지 \(t\) 초 후의 위치를 각각 \(\rm P',\;Q'\) 라 하고 \(\triangle \rm OP'Q'\) 의 넓이는 \(S(t)\) 라 하자. \(\displaystyle \int_{0}^{2} S(t) dt = \dfrac{q}{p}\) 일 때, \(p^2+q^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(p, \;q\) 는 소로소인 자연수이다.) 정답 \(29\)

두 다항함수 \(f(x), \;g(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 (가) \(f(x)g(x)=x^3+3x^2-x-3\) (나) \(f'(x)=1\) (다) \(g(x)=2 \displaystyle \int_{1}^{x} f(t)\; dt\) \(\displaystyle \int_{0}^{3} 3g(x) \;dx\) 의 값을 구하시오. 정답 \(27\)