수악중독

좌표공간에 구 \(S\; :\; (x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=12\) 와 평면 \(\alpha \; : \; x+y+z=3\) 가 있다. 평면 \(\alpha\) 위의 직선 \(l\) 에 대하여 \(\rm O\) 와 직선 \(l\) 사이의 거리는 \(2\) 이다. \(l\) 과 구 \(S\) 가 만나는 두 점을 각각 \(\rm A, \;B\) 라 할 때, 삼각형 \(\rm OAB\) 의 넓이는? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) ① \(3\sqrt{2}\) ② \(3\sqrt{3}\) ③ \(4\) ④ \(4\sqrt{2}\) ⑤ \(4\sqrt{3}\) 정답 ④

좌표공간에서 평면 \(\alpha \;:\; ax+y+bz+c=0\) 이 두 구 \[S_1 \;:\; (x-1)^2+(y-1)^2+(z+1)^2=13\] \[ S_2 \; : \; (x+1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=6\] 와 만날 때, \(\alpha\) 와 \(S_1\) 이 만나서 생기는 원을 \(C_1\) 이라 하고, \(\alpha\) 와 \(S_2\) 가 만나서 생기는 원을 \(C_2\) 라 하자. \(C_1\) 의 반지름이 \(3\) 이고, \(C_1 .\;C_2\) 의 중심이 서로 일치할 때, \(a^2+b^2+c^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(a,\;b,\;c\) 는 상수이다.) 정답 \(17\)

집합 \(X=\{1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;7,\;8,\;9,\;10\}\) 일 때, 함수 \(f\; :\; X \to X\) 중 다음 조건을 만족시키는 것의 개수는? (가) 모든 \(x \in X\) 에 대하여 \(f\{f(x)\}=f(x)\) 이다. (나) \(\{2,\;3,\;5,\;6,\;7,\;10\} \subset \{ f(x) \;|\; x \in X\} \) (다) 집합 \(X\) 의 임의의 두 원소 \(a,\;b\) 에 대하여 \(a

세 수 \(2, \;3,\;5\) 에서 중복을 허락하여 다섯 개의 수를 선택하고, 이들 선택된 다섯 개의 수를 곱하여 만들어지는 수 중에서 \(9\) 의 배수가 아닌 것의 개수를 구하시오. 정답 \(11\)

\(2 \sum \limits_{k=1}^{5} x_k + 3 \sum \limits_{k=6}^{10} =8\) 을 만족시키는 서로 다른 순서쌍 \(x_1 ,\; x_2,\; x_3 ,\; \cdots ,\; x_{10}\) 의 개수를 구하여라. (단, \(x_i\) 는 음이 아닌 정수이고 \(i=1,\;2,\;3,\; \cdots ,\;10\) 이다.) 정답 \(145\)

\(2x+y+z=2n\; (n \geq 3)\) 을 만족하는 자연수 순서쌍 \((x, \;y,\;z)\) 의 개수를 \(a_n\) 이라고 하자. \(\sum \limits_{n=3}^{11} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(384\)

구분이 안되는 배 \(4\) 개와 구분이 안되는 사과 \(3\) 개를 \(3\) 명의 학생에게 나누어 주려고 한다. 과일을 못 받는 학생이 발생하지 않도록 과일을 세 학생에게 나누어 주는 방법의 수를 구하시오. 정답 \(93\)

\(1\) 부터 \(1000\) 까지의 자연수 중 \(409\) 와 같이 각 자리의 숫자의 합이 \(13\) 이 되는 자연수는 몇 개인지 구하시오. 정답 \(75\)

한 개의 주사위를 \(5\) 번 던질 때, \(k\) 번째 나타나는 눈의 수를 \(a_k\) 라 하자. \(a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq a_4 \leq a_5\) 를 만족시키는 경우의 수를 \(p\), \(a_1 \leq a_2 < a_3 \leq a_3 \leq a_4 \leq a_5\) 를 만족시키는 경우의 수를 \(q\) 라 할 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(k=1, \;2,\;3,\;4,\;5)\) 정답 \(378\)

그림과 같이 꼭짓점이 \(\rm A\), 밑변의 중심이 \(\rm B\) 인 원뿔과 중심이 \(\rm O\) 인 구가 점 \(\rm B\) 에서 접하고 있다. 원뿔의 모선의 길이는 \(5\), 밑면의 반지름의 길이는 \(3\) 이고, 구의 반지름의 길이는 \(4\) 이다. 원뿔의 밑면의 둘레인 원 위의 점 \(\rm P\) 와 구 위의 점 \(\rm Q\) 에 대하여 \(\overrightarrow{\rm AP}\cdot \overrightarrow{\rm AQ}\) 의 최댓값을 구하시오. 정답 \(52\)