수악중독

삼차함수 \(y=f(x)\) 의 그래프는 그림과 같이 원점을 지나고, 함수 \(f(x)\) 는 \(x=-1\) 일 때 극댓값을 갖고, \(x=3\) 일 때 극솟값을 가진다. 이때, 삼차함수 \(g(x)\) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f'(-x)=-g'(x)\) 이다. (나) 방정식 \(f(x)=g(x)\) 는 서로 다른 세 실근 \(\alpha,\; \beta,\; \gamma \;(\alpha

좌표평면에서 자연수 \(n\) 에 대하여 직선 \(y=x+n\) 과 \(n\) 개의 원 \(x^2+y^2=2k^2\; (k=1,\;2,\;3,\; \cdots,\;n)\) 의 서로 다른 교점의 개수를 \(a_n\) 이라 하자. \(\sum \limits_{n=1}^{20} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(230\)

두 곡선 \(y=x^3+3x,\; y=x^3+3x+k\) 에 동시에 접하는 접선의 기울기가 \(6\) 일 때, 양수 \(k\) 의 값을 구하시오. 정답 \(4\)

그림과 같이 점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고 길이가 \(4\) 인 선분 \(\rm AB\) 를 지름으로 하는 반원이 있다. 이 반원의 내분에 \(\overline{\rm AC}=1\) 인 점 \(\rm C\) 를 잡고, 삼각형 \(\rm ABC\) 의 내접원의 중심을 \(\rm O'\) 이라 하자. 선분 \(\rm AO'\) 의 연장선과 선분 \(\rm BC\) 의 교점을 \(\rm N\), 반원과의 교점을 \(\rm P\) 라 하고, 선분 \(\rm BC\) 의 중점을 \(\rm M\), 선분 \(\rm AM\) 의 연장선과 선분 \(\rm BP\) 의 교점을 \(\rm Q\) 라 하자. \(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}, \; \overrighta..

\(\overline{\rm AB}=1,\; \overline{\rm BC}=3\) 이고, \(\angle \rm B=90^{\rm o}\) 인 직각삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. \((x-5)^2+(y-5)^2=10\) 인 두 실수 \(x, \;y\) 에 대하여 \(\rm P\) 가 \(\overrightarrow{\rm BP}=\dfrac{x \overrightarrow{\rm AB}+ y \overrightarrow{\rm AC}}{x+y}\) 를 만족시킬 때, \(\left | \overrightarrow{\rm AP} \right | ^2\) 의 최댓값은 \(\dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p, \;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(..

좌표평면에서 중심이 각각 \({\rm O}(0,\;0),\; {\rm A}(4, \;0),\; {\rm B}(4,\;6)\) 이고 반지름의 길이가 \(1\) 인 세 원 \(C_1,\; C_2,\;C_3\) 가 있다. 세 점 \(\rm P,\;Q,\;R\) 이 각각 세 원 \(C_1,\;C_2,\;C_3\) 위를 움직일 때, \( \left | \overrightarrow{\rm OP} + \overrightarrow{\rm OQ} + \overrightarrow{\rm OR} \right |\) 의 최솟값을 구하시오. 정답 \(7\)

\(\left ( 2x+\dfrac{1}{2} \right ) ^6\) 의 전개식에서 \(x^r\) 의 계수를 \(a_r \; ( 0 \leq r \leq 6)\) 이라 하자. \(a_r\) 의 최댓값을 \(M\), 그때의 \(r\) 의 값을 \(R\) 라고 할 때, \(M+R\) 의 값을 구하여라. 정답 \(101\)

\(A, \;B,\;C,\;D\) \(4\) 명을 포함한 \(12\) 명을 \(4\) 명씩 \(3\) 개 팀으로 나누어 게임을 하려고 한다. 이때, \(A,\;B,\;C,\;D\) \(4\) 명이 한 팀에 있을 확률은? ① \(\dfrac{1}{110}\) ② \(\dfrac{1}{165}\) ③ \(\dfrac{1}{220}\) ④ \(\dfrac{1}{330}\) ⑤ \(\dfrac{1}{660}\) 정답 ②

두 양의 실수 \(\alpha, \; \beta\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\log _3 \alpha - \log _2 \alpha = 2^{-\alpha+2}\) (나) \(\log _2 \beta - \log _3 \beta = 2^{-\beta+2}\) 다음 중 세 수 \(1,\; \alpha,\; \beta\) 의 대소 관계로 옳은 것은? ① \(\beta

\(\rm A(3,\;-1),\; B(5,\;-1),\; C(5,\;2),\; D(3,\;2)\) 를 연결하여 만든 직사각형이 있다. 로그함수 \(y= \log_a (x-1)-4\) 가 직사각형 \(\rm ABCD\) 와 만나기 위한 \(a\) 의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(N\) 이라 할 때, \(\left ( \dfrac{N}{M} \right )^{12}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(64\)