수악중독

자연수 $n$ 에 대하여 $n^2$ 을 $5$ 로 나눈 나머지를 $a_n$ 이라 하자. 이 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. $a_4 =1$ ㄴ. $a_n =2$ 인 자연수 $n$ 은 존재하지 않는다. ㄷ. $5$ 로 나눈 나머지가 서로 다른 두 자연수 $p,\;q$ 에 대하여 $a_p +a_q =2$ 이면 $p+q$ 는 $5$ 의 배수이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

좌표평면에서 집합 $\{ (x,\;y) \; \vert \; 0\le x \le 1, \;\; 0 \le y \le 1\}$ 이 나타내는 영역의 넓이가 곡선 $y=kx^2$ 에 의해 이등분될 때, 양수 $k$ 의 값은? ① $1$ ② $\dfrac{4}{3}$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $\dfrac{16}{9}$ ⑤ $\dfrac{9}{4}$ 정답 ④

포물선 $y=x^2$ 위에서 두 점 ${\rm P} \left ( a,\; a^2 \right ) , \;\; {\rm Q} \left ( b,\; b^2 \right )$ 가 조건 「선분 $\rm PQ$ 와 포물선 $y=x^2$ 으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $36$」 을 만족하면서 움직이고 있다. $\lim \limits _{a \to \infty} \dfrac{\overline {\rm PQ}}{a}$ 의 값을 구하시오. 정답 12

증가수열 $1,\;5,\;6,\;25,\;26,\;30,\;31,\;125,\; \cdots$ 은 모두 $1$ 과 $5$ 의 거듭제곱 또는 $1$ 과 두 개 이상의 서로 다른 유한개의 $5$ 의 거듭제곱의 합으로 이루어져 있다. 이 수열을 $\{a_n\}$ 이라 할 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고르시오. ㄱ. 자연수 $k$ 에 대하여 $n=2^k$ 이면 $a_n =5^k$ 이다. ㄴ. 임의의 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{2n} = 5a_n$ 이다. ㄷ. $a_1 +a_2 + \cdots +a_{31} = 5^4 \left ( 5^4 +5^3 +5^2 +5+1 \right )$ 정답 ㄱ, ㄴ

좌표평면에서 두 점 ${\rm A}(2,\;2),\;\;{\rm B}(-2\sqrt{3},\;2)$ 에 대하여 다음 세 조건을 만족하는 점 ${\rm P}(x,\;y)$ 가 나타내는 도형 전체의 넓이를 구하시오. (가) $x^2 +y^2 \ge 8$ (나) $x^2 +y^2 \le 16$ (다) 선분 $\rm AB$ 위의 임의의 점 $(p,\;2)$ 에 대해서 행렬 \(\left ( \matrix {x & y \\ 2 & p} \right ) \) 는 역행렬을 갖는다. 정답 (10/3)π

함수 $f(x)$ 위의 임의의 점 ${\rm P} (a,\;b)$ 와 $y=f(x)$ 의 역함수 $y=f^{-1} (x)$ 위의 임의의 점 ${\rm Q} (c,\;d)$ 로 행렬 \(A= \left ( \matrix {a & b \\ c& d}\right ) \) 를 만든다. 다음 함수로 행렬 $A$ 를 만들 때, 역행렬이 존재하는 것은? ① $y=x+1$ ② $y=\log x$ ③ $y=2^x$ ④ $y=\sqrt{x-1}$ ⑤ $y=\dfrac{1}{x}$ 정답 ④

이차 정사각행렬 $A$ 의 모든 성분은 정수이고\[A^2 = 2kE,\;\; A \left ( \matrix{1\\1} \right ) = \left ( \matrix {k \\ k^2} \right ) \] 을 만족할 때, 행렬 $A$ 의 모든 성분의 제곱의 합을 구하시오. (단, $k$ 는 $0$ 이 아닌 정수) 정답 44

넓은 마루에 간격이 $2\sqrt{3}$ 인 평행선들이 무수히 그어져 있다. 길이가 $4$ 인 바늘을 이 마루에 떨어뜨렸을 때, 이 바늘이 평행선과 만날 확률을 구하시오. 정답은 풀이 참조

등차수열 $\{a_n\}$ 이 다음 두 조건을 만족할 때, $a_{30}$ 의 값을 구하시오. (가) $\sum \limits _{k=1}^{10} a_{2k-1} =660$ (나) $\sum \limits _{k=1}^{10} (-1)^k a_{2k-1} =70$ 정답 206

첫 째항이 $1$, 공차가 $d$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 이 있다. 첫 째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S_n$, 제 $(n+1)$ 항부터 제 $3n$ 항까지의 합을 $T_n$ 이라 할 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. $T_n =2n(a_{n+1} + a_{3n} )$ ㄴ. $d=0$ 이면 ${\dfrac{T_n}{S_n}} =2$ ㄷ. ${\dfrac{T_n}{S_n}} = 8$ 이면 $d=2$ ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ 정답 ⑤