수악중독

함수 $f(x)=(x+1)(x-6)^2$ 과 양의 실수 $t$ 에 대하여 $g(t)$ 를 다음과 같이 정의한다. 두 점 $(0, \; 0)$ , $(t, \; f(t))$ 를 지나는 직선의 기울기와 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(k, \; f(k))$ 에서의 접선의 기울기가 같아지는 양의 실수 $k$ 의 개수가 $1$ 이면 $k$ 의 값을 $g(t)$, $2$ 이면 $k$ 의 값 중 작은 값을 $g(t)$ 라 한다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f'(0)=24$ ㄴ. $g(6)=\dfrac{4}{3}$ ㄷ. 함수 $g(t)$ 의 치역의 원소가 아닌 모든 자연수의 합은 $27$ 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ⑤

수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 의 시각 $t\; (t>0)$ 에서의 위치가 각각 $$x_1(t)=t^3-3t^2-24t, \quad x_2(t)=t^2-at$$ 이다. 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 의 운동 방향이 시각 $t=k$ 에서 동시에 바뀔 때, $a+k$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $k$ 는 상수이다.) 더보기 정답 $12$

함수 $f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-2x^2-12x+4$ 가 $x=\alpha$ 에서 극대이고, $x=\beta$ 에서 극소일 때, $\beta-\alpha$ 의 값은? (단, $\alpha$ 와 $\beta$ 는 상수이다.) ① $-4$ ② $-1$ ③ $2$ ④ $5$ ⑤ $8$ 더보기 정답 ⑤

두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는 $$f(x)=\begin{cases}2x^3-6x+1 & (x \le 2) \\ a(x-2)(x-b)+9 & (x>2)\end{cases}$$ 이다. 실수 $t$ 에 대하여 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 직선 $y=t$ 가 만나는 점의 개수를 $g(t)$ 라 하자. $$g(k)+\lim \limits_{t \to k-}g(t)+\lim \limits_{t \to k+}g(t)=9$$ 를 만족시키는 실수 $k$ 의 개수가 $1$ 이 되도록 하는 두 자연수 $a, \; b$ 의 순서쌍 $(a, \; b)$ 에 대하여 $a+b$ 의 최댓값은? ① $51$ ② $52$ ③ $53$ ④ $54$ ⑤ $55$ 더보기 정답 ①

함수 $f(x)=(x+1)\left (x^2+3 \right )$ 에 대하여 $f'(1)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $8$

$a>\sqrt{2}$ 인 실수 $a$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=-x^3+ax^2+2x$$ 라 하자. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{O}(0, \; 0)$ 에서의 접선이 곡선 $y=f(x)$ 와 만나는 점 중 $\mathrm{O}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{A}$ 라 하고, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{A}$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$ 라 하자. 점 $\mathrm{A}$ 가 선분 $\mathrm{OB}$ 를 지름으로 하는 원 위의 점일 때, $\overline{\mathrm{OA}}\times \overline{\mathrm{AB}}$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $25$

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 함수 $f(x)$ 에 대하여 $$f(k-1)f(k+1)

두 자연수 $m, \; n$ 에 대하여 함수 $f(x)=x(x-m)(x-n)$ 이 $$f(1)f(3)

두 함수 $$f(x)=-x^4-x^3+2x^2, \quad g(x)=\dfrac{1}{3}x^3 -2x^2+a$$ 가 있다. 모든 실수 $x$ 에 대하여 부등식 $$f(x) \le g(x)$$ 가 성립할 때, 실수 $a$ 의 최솟값은? ① $8$ ② $\dfrac{26}{3}$ ③ $\dfrac{28}{3}$ ④ $10$ ⑤ $\dfrac{32}{3}$ 더보기 정답 ⑤

양수 $k$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)= \left | x^3-12x+k \right |$$ 라 하자. 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 직선 $y=a \; (a \ge 0)$ 이 만나는 서로 다른 점의 개수가 홀수가 되도록 하는 실수 $a$ 의 값이 오직 하나일 때, $k$ 의 값은? ① $8$ ② $10$ ③ $12$ ④ $14$ ⑤ $16$ 더보기 정답 ⑤