수악중독

좌표공간의 점 $\rm A(5, \; 0, \; 0)$ 에서 구 $S\; : \; (x-2)^2+y^2+(z-4)^2=4$ 에 그은 접선의 접점이 나타내는 도형을 $C$ 라 할 때, $C$ 위의 두 점 $\rm P, \;Q$ 가 $\overline{\rm PQ}=1$ 을 만족시킨다. $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \left ( \overrightarrow{\rm OP} + \overrightarrow{\rm OQ} \right )$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값은? (단, $\rm O$ 는 원점이다.)① $\dfrac{206}{5}$ ② $44$ ③ $\dfrac{234}{5}$ ④ $\dfrac{248}{5}$ ⑤ $\dfrac{262}{..

한 모서리의 길이가 $4$ 인 정사면체 $\rm ABCD$ 에서 삼각형 $\rm ABC$ 의 무게중심을 $\rm O$, 선분 $\rm AD$ 의 중점을 $\rm P$ 라 하자. 정사면체 $\rm ABCD$ 의 한 면 $\rm BCD$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 두 벡터 $\overrightarrow{\rm OQ}$ 와 $\overrightarrow{\rm OP}$ 가 서로 수직일 때, $\left | \overrightarrow{\rm PQ} \right |$ 의 최댓값은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $19$

그림과 같이 점 $\rm A$ 를 꼭짓점으로 하고 중심이 $\rm O$, 반지름의 길이가 $1$ 인 원 $C$ 를 밑면으로 하며 높이가 $2$ 인 원뿔이 있다. 네 점 $\rm P, \;Q, \;R, \;S$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 $\rm P$ 는 원 $C$ 위에 있다.(나) $\overline{\rm OQ}=2$ 이고 직선 $\rm OQ$ 는 평면 $\rm OAP$ 와 수직이다.(다) 점 $\rm R$ 는 선분 $\rm AP$ 를 $1:2$ 로 외분하는 점이다.(라) 점 $\rm S$ 는 선분 $\rm OQ$ 와 원 $C$ 의 교점이다. $\overrightarrow{\rm SA} \cdot \overrightarrow{\rm QR}$ 의 값을 구하시오. 정답 $10$

그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 넓이가 $27$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있고, 평면 $\beta$ 위에 넓이가 $35$ 인 삼각형 $\rm ABD$ 가 있다. 선분 $\rm BC$ 를 $1:2$ 로 내분하는 점을 $\rm P$ 라 하고 선분 $\rm AP$ 를 $2:1$ 로 내분하는 점을 $\rm Q$ 라 하자. 점 $\rm D$ 에서 평면 $\alpha$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하면 점 $\rm Q$ 는 선분 $\rm BH$ 의 중점이다. 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 가 이루는 각을 $\theta$ 라 할 때, $\cos \theta=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $47$

좌표공간에서 두 점 $\rm A(0, \; 0, \; 2), \;\; B(2, \; 4,\; -2)$ 에 대하여 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OP} = 0, \;\; \left | \overrightarrow{\rm OP} \right | = 3$(나) $\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm BQ}=0, \;\; \left | \overrightarrow{\rm BQ} \right | =2$ $\overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm AQ}$ 의 최댓값이 $a+b\sqrt{5}..

중심이 $\rm D$ 인 구에 내접하고 있는 사면체 $\rm OABC$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm OA} = \overrightarrow{a}, \; \overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}, \; \overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c}$ 라 할 때, 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\left | \overrightarrow{a} \right | = \left | \overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{c} \right | = 4$ (나) 임의의 단위벡터 $\overrightarrow{p}$ 에 대하여 $$ \left ( \overrightarrow{a..

좌표공간에서 한 변의 길이가 $2$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 점 $\rm A, \; B$ 는 평면 $x+y-z=1$ 위에 있고, 직선 $\rm AB$ 는 $yz$ 평면과 평행하다.(나) 평면 $\rm ABC$ 는 평면 $x+y-z=1$ 과 수직이다. 삼각형 $\rm ABC$ 의 평면 $2x+y+z=0$ 위로의 정사영의 넓이를 $S$ 라 할 때, $60 \times S^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $80$

직사각형 $\rm ABCD$ 내부의 점 $\rm P$ 가 $$\overrightarrow{\rm PA} + \overrightarrow{\rm PB} + \overrightarrow{\rm PC} + \overrightarrow{\rm PD} = \overrightarrow{\rm CA}$$ 를 만족시킨다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\overrightarrow{\rm PB}+\overrightarrow{\rm PD} = 2 \overrightarrow{\rm CP}$ㄴ. $\overrightarrow{\rm AP} = \dfrac{3}{4} \overrightarrow{\rm AC}$ ㄷ. 삼각형 $\rm ADP$ 의 넓이가 $3$ 이면 직사각형 $\rm ABCD$ 의 넓이는 $8..

좌표공간에 점 $\rm P(0, \; 0, \; 4)$ 가 있고 $xy$ 평면 위의 원 $x^2 + y^2 =4$ 위에 두 점 $\rm A, \; B$ 가 있다. 평면 $\rm ABP$ 의 법선벡터가 $\overrightarrow{n}=(2, \;-2, \;1)$ 일 때, 선분 $\rm AB$ 의 길이는? ① $\sqrt{6}$ ② $2 \sqrt{2}$ ③ $\sqrt{10}$ ④ $ 2 \sqrt{3}$ ⑤ $\sqrt{14}$ 정답 ②

그림과 같이 타원 $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{27}=1$ 의 두 초점이 $\rm F, \; F'$ 이고, 제1사분면에 있는 두 점 $\rm P, \;Q$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overline{\rm PF}=2$(나) 점 $\rm Q$ 는 직선 $\rm PF'$ 과 타원의 교점이다. 삼각형 $ \rm PFQ $ 의 둘레의 길이과 삼각형 $\rm PF'F$ 의 둘레의 길이의 합을 구하시오. 정답 $22$