벡터의 내적_난이도 상

중심이 $\rm D$ 인 구에 내접하고 있는 사면체 $\rm OABC$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm OA} = \overrightarrow{a}, \; \overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}, \; \overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c}$ 라 할 때, 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\left | \overrightarrow{a} \right | = \left | \overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{c} \right | = 4$
(나) 임의의 단위벡터 $\overrightarrow{p}$ 에 대하여 $$ \left ( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{p} \right ) ^2 + \left ( \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{p} \right ) ^2 + \left ( \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{p} \right ) ^2=16$$ 이 성립한다.

구 위의 임의의 점 $\rm X$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm OX} \cdot \left ( \overrightarrow{\rm DA} + \overrightarrow{\rm DB} + \overrightarrow{\rm DC} \right )$ 의 최솟값이 $k$ 일 때, $k^2$ 의 값을 구하시오.

정답 $576$