수악중독

그림과 같이 두 초점이 $\rm F, \; F'$ 인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{17}=1$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 직선 $\rm FP$ 와 직선 $\rm F'P$ 에 동시에 접하고 중심이 $y$ 축 위에 있는 원 $C$ 가 있다. 직선 $\rm F'P$ 와 원 $C$ 의 접점 $\rm Q$ 에 대하여 $\overline{\rm F'Q}=5\sqrt{2}$ 일 때, $\overline{\rm FP}^2 + \overline{\rm F'P}^2$ 의 값을 구하시오. (단, $\overline{\rm F'P} < \overline{\rm FP}$) 정답 $116$

좌표공간에 한 직선 위에 있지 않은 세 점 $\rm A, \; B, \; C$ 가 있다. 다음 조건을 만족시키는 평면 $\alpha$ 에 대하여 각 점 $\rm A, \; B, \; C$ 와 평면 $\alpha$ 사이의 거리 중에서 가장 작은 값을 $d(\alpha)$ 라 하자. (가) 평면 $\alpha$ 는 선분 $\rm AC$ 와 만나고, 선분 $\rm BC$ 와도 만난다. (나) 평면 $\alpha$ 는 선분 $\rm AB$ 와 만나지 않는다. 위의 조건을 만족시키는 평면 $\alpha$ 중에서 $d(\alpha)$ 가 최대가 되는 평면을 $\beta$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 평면 $\beta$ 는 세 점 $\rm A, \; B, \; C$ 를 지나는 평면과 수..

좌표공간에 구 $x^2 +y^2 + z^2 =6$ 이 평면 $x+2z-5=0$ 과 만나서 생기는 원 $C$ 가 있다. 원 $C$ 위의 점 중 $y$ 좌표가 최소인 점을 $\rm P$ 라 하고, 점 $\rm P$ 에서 $xy$ 평면에 내린 수선의 발을 $\rm Q$ 라 하자. 원 $C$ 위를 움직이는 점 $\rm X$ 에 대하여 $\left | \overrightarrow{\rm PX} + \overrightarrow{\rm QX} \right |^2$ 의 최댓값은 $a+b\sqrt{30}$ 이다. $10(a+b)$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$ 는 유리수이다.) 정답 $136$

쌍곡선 $x^2-y^2=1$ 위의 점 $\rm P$ 와 $x$ 축 위의 점 ${\rm A}(t, \; 0)$ 이 있다. $\overline{\rm AP}$ 의 최솟값을 $f(t)$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는대로 고른 것은? ㄱ. $f(0)=1$ㄴ. 방정식 $f(t)=\dfrac{1}{3}$ 의 실근의 개수는 $4$ 이다.ㄷ. 함수 $f(t)$ 가 미분가능하지 않은 $t$ 의 값의 개수는 $5$ 이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

좌표공간에서 세 점 ${\rm O}(0, \; 0, \; 0), \; {\rm A}(1, \; 0, \; 0), \; {\rm B}(0, \; 0, \; 2)$ 가 있다. 점 $ \rm P$ 가 $\overrightarrow{\rm OB} \cdot \overrightarrow{\rm OP}=0$ , $\left | \overrightarrow{\rm OP} \right | \le 4$ 를 만족시키며 움직일 때, $\left | \overrightarrow{\rm PQ} \right | = 1,\;\; \overrightarrow{\rm PQ}\cdot \overrightarrow{\rm OA} \ge \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 을 만족시키는 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\left | \ov..

평면 $\alpha$ 위에 한 변의 길이가 $16$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 가 있고, 세 꼭짓점 $\rm A, \; B, \; C$ 를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 $8$ 인 세 원 $A,\; B, \; C$ 가 있다. 세 원 $A, \; B, \; C$ 를 각각 밑면으로 하고 높이가 모두 $15$ 인 세 원뿔의 꼭짓점을 각각 $\rm A', \; B',\; C'$ 라 할 때, 세 점 $\rm A', \; B', \; C'$ 을 지나는 평면을 $\beta$ 라 하자. 평면 $\beta$ 에 접하고 세 원뿔에 모두 접하는 구의 반지름의 길이는 $\dfrac{q}{p}\sqrt{3}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $21$

초점이 $\rm F_1$ 인 포물선 $P_1 \; : \; y^2=4p(x-p)$ 와 초점이 $\rm F_2$ 인 포물선 $P_2 \; :\; y^2=4q(x-q)$ 가 있다. $\rm F_1$ 을 지나고 기울기가 $-\dfrac{3}{4}$ 인 직선이 포물선 $P_1$ 와 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\rm A$, $\rm F_2$ 을 지나고 기울기가 $\dfrac{4}{3}$ 인 직선이 포물선 $P_2$ 와 제$2$사분면에서 만나는 점을 $\rm B$ 라 하자.$\overrightarrow{\rm F_1A} \cdot \overrightarrow{\rm F_1B}=960$ 이고 $\overrightarrow{\rm F_2A} \cdot \overrightarrow{\rm F_2B}=540$ 일 때..

곡선 $y=\dfrac{1}{x}$ 위의 점 ${\rm A} \left ( t, \; \dfrac{1}{t} \right )\;\;(0

좌표공간에 원 $C\; :\; x^2+y^2=3, \; z=1$ 과 구 $S\; : \; (x-6)^2 +(y-8)^2 + (z-1)^2 = 9$ 가 있고, 원점 $\rm O$ 와 원 $C$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm OP}$ 를 법선벡터로 하는 평면 $\alpha$ 가 있다. 원 $C$ 의 중심 $\rm A$ 와 구 $S$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 선분 $\rm AQ$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 길이의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값을 구하시오. 정답 $15$

그림과 같이 한 모서리의 길이가 $2$ 인 정육면체 $\rm ABCD-EFGH$ 와 평면 $\rm EFGH$ 위에 있으면서 중심이 점 $\rm H$ 이고 반지름의 길이가 $2$ 인 원을 아랫면, 평면 $\rm ABCD$ 위에 있으면서 중심이 점 $\rm D$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원을 윗면으로 하는 원뿔대가 있다. 이때, 선분 $\rm BF$ 의 중점 $\rm M$ 과 점 $\rm H$ 를 연결한 직선과 평행한 광선을 비추고 있다고 하자. 이 평행광선에 의해 원뿔대와 정육면체가 공유하는 입체의 그림자가 평면 $\rm EFGH$ 와 평행한 평면 $\alpha$ 위에 나타날 때, 이 그림자의 넓이를 $a\pi +b$ 라 하자. $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 정수) 정답..