수악중독

한 변의 길이가 $2$ 인 정사면체 $\rm OABC$ 가 있다. 점 $\rm O$ 에서 $\overline{\rm BC}$ 에 내린 수선의 발을 $\rm M$, 점 $\rm O$ 에서 $\overline{\rm AB}$ 에 내린 수선의 발을 $\rm N$ 이라 할 때, $\triangle \rm OCM$ 내분의 점 $\rm P$ 에 대하여 다음이 성립한다. $$\dfrac{\overrightarrow{\rm PM}}{ \left | \overrightarrow{\rm PM} \right |} + \dfrac{\overrightarrow{\rm PC}}{\left | \overrightarrow{\rm PC} \right |} + \dfrac{\overrightarrow{\rm PO}}{\left | \..

평면 위에 반지름의 길이가 $13$ 인 원 $C$ 가 있다. 원 $C$ 위의 두 점 $\rm A, \; B$ 에 대하여 $\overline{\rm AB}=24$ 이고, 이 평면 위의 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\left | \overrightarrow{\rm AP} \right |=5$(나) $\overrightarrow{\rm AB}$ 와 $\overrightarrow{\rm AP}$ 가 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $5 \cos \theta$ 는 자연수이다. 원 $C$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AQ}$ 의 최댓값을 구하시오. 정답 $128$

좌표공간에서 평면 $\alpha \; : \; \sqrt{3}x + \sqrt{3}y + \sqrt{2}z=6 \sqrt{6}$ 위의 두 점 $\rm P, \; Q$ 와 원점 $\rm O$ 에 대하여 삼각형 $\rm OPQ$ 는 한 변의 길이가 $4\sqrt{3}$ 인 정삼각형이다. 점 $\rm P$ 가 $xy$ 평면과 평면 $\alpha$ 가 만나서 생기는 교선 위에 있을 때, 삼각형 $\rm OPQ$ 의 $xy$ 평면 위로의 정사영의 넓이는? (단, 점 $\rm Q$ 는 $xy$ 평면 위에 있지 않다.) ① $\dfrac{11\sqrt{3}}{7}$ ② $\dfrac{12\sqrt{3}}{7}$ ③ $\dfrac{13\sqrt{3}}{7}$ ④ $2\sqrt{3}$ ⑤ $\dfrac{15\sqrt{3..

그림과 같이 한 변의 길이가 $6$ 인 정사면체 $\rm ABCD$ 가 있다. 선분 $\rm BC$ 의 중점을 $\rm M$, 선분 $\rm DM$ 을 $4:1$ 로 외분하는 점을 $\rm E$ 라 하자. 정사면체 $\rm ABCD$ 의 내부 또는 경계 위의 점 $\rm P$ 와 선분 $\rm AE$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm AQ}\cdot \overrightarrow{\rm QP}=0$ 이다. $\overrightarrow{\rm AD} \cdot \overrightarrow{\rm BP}$ 의 최댓값이 $12$ 일 때, $\overrightarrow{\rm CE} \cdot \overrightarrow{\rm QB}$ 의 값을 구하시오. 정답 $9$

시각 $t \; (0 \le t \le \pi)$ 에서 미분가능한 함수 $f(t)$ 로 정의된 좌표평면 위를 움직이는 점 $\rm P$ 의 위치 $(x, \; y)$ 가 $$\left \{ \begin{array}{l} x=\cos^3t \\ y=f(t) \end{array}\right .$$ 이다. 시각 $t$ 에 대해 점 $\rm P$ 가 점 $(1, \; f(0))$ 으로부터 움직인 거리 $s$ 는 $s=\dfrac{3}{2} \left ( 1 - \sqrt[3]{x^2} \right )$ 을 만족하고 $f \left ( \dfrac{\pi}{2} \right )=1$ 일 때 $\displaystyle \int_{-1}^1 f(t)\;dx$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 하자. $M+m..

그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 밑면의 중심이 $ \rm O$이고 반지름의 길이가 $6$ 인 원뿔대가 놓여있고, 다른 밑면의 반지름의 길이는 $4$ 이다. 반지름의 길이가 모두 $\sqrt{3}$ 이고 중심이 ${\rm O}_k$ $(k=1, \; 2, \; 3, \; 4)$ 인 네 구 $S_k$ 가 원뿔대의 두 밑면에 동시에 접하고 $S_1, \; S_3$ 는 원뿔대의 옆면에 접한다. $S_2, \; S_4$ 가 각각 $S_1, \; S_3$ 에 모두 접할 때, 평면 $\alpha$ 와 원뿔대에 모두 접하고 중심이 $\rm A$ 인 구 $S$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 점 $\rm O_1, \; O_3$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영이 각각 $\rm O_1', \; O_3'..

그림과 같이 평면 $\alpha \; : \; z=-2$ 와 중심이 ${\rm O}(0, \; 0, \; 0)$ 이고 반지름의 길이가 $4$ 인 구 $S$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 에 접하는 두 구 $S_1, \; S_2$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $S_1$ 의 반지름의 길이는 $3$ 이고, $S_2$ 의 반지름은 $S_1$ 의 반지름보다 크다.(나) $S_1, \; S_2$ 는 모두 $S$ 에 외접한다.(다) $S_1$ 은 $S_2$ 와 외접한다. $S_1, \; S_2$ 의 중심을 각각 $\rm O_1, \; O_2$ 라 할 때, 직선 $\rm O_1O_2$ 가 평면 $\alpha$ 와 이루는 예각 $\theta$ 에 대하여 $\sin \theta = \dfrac{1}{7}$ 이다...

구 $S\; : \; x^2+y^2+z^2=24$ 와 평면 $\alpha \; : \; x+2y-2z=12$ 가 만나서 생기는 원을 $C_1$ 이라 할 때, 원점 $\rm O$ 를 포함하는 평면 $\beta$ 가 구 $S$ 와 만나서 생기는 원 $C_2$ 가 원 $C_1$ 과 오직 한 점 $\rm A$ 에서 만난다고 하자. 원 $C_1$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 의 평면 $\beta$ 위로의 정사영을 $\rm H$ 라 할 때, $\left | \overrightarrow{\rm OA} \right |^2 - \left | \overrightarrow{\rm OH} \right |^2 + 2 \overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm AH}$ 의 최댓값..

그림과 같이 원 $C_1 \; : \; x^2+y^2=9, \; z=0$ 와 $xy$ 평면 위의 직선 $l$ 이 점 $ \rm P$ 에서 접하고, 점 $(0,\; 0,\; 3)$ 을 중심으로 하는 원 $C_2$ 의 $xy$ 평면 위로의 정사영은 단축의 길이가 $2$ 이고 장축의 길이가 $2\sqrt{2}$ 인 타원이다. 원 $C_2$ 위의 점 중 $xy$ 평면까지의 거리가 최대인 점을 $\rm Q$, 원 $C_1$ 위의 점 중 $\rm Q$ 와의 거리가 최소인 점을 $\rm R$ 이라 할 때, 두 점 $\rm Q, \; R$ 을 지나는 평면 중 원 $C_1$ 와 오직 한점에서 만나는 평면을 $\alpha$ 라 하자. 평면 $\alpha$ 와 직선 $l$ 의 교점을 $\rm S$ 라 할 때, 점 $\rm ..

좌표공간 위에 두 구 $$S_1 \; : \; x^2+y^2+(z+2)^2=4, \;\; S_2\; :\; x^2+y^2+(z-1)^2=1$$에 대하여 원점을 지나지 않는 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 가 $S_1, \; S_2$ 와 동시에 접하고, 평면 $\alpha$ 와 구 $S_1$ 의 교점을 $\rm P$ 라 할 때, 점 $\rm P$ 는 $yz$ 평면 위에 있고 평면 $\beta$ 는 직선 $\rm OP$ 와 평행하다.평면 $\beta$ 와 $yz$ 평면의 교선을 $l$ 이라 할 때, 직선 $l$ 이 두 구 $S_1, \; S_2$ 와 동시에 접하는 임의의 평면과 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 하자. $\sin \theta$ 의 최댓값이 $\dfrac{q}{p}\sqrt{3..