벡터의 내적 활용_난이도 상(2016년 11월 수능 가형 29번)

한 모서리의 길이가 $4$ 인 정사면체 $\rm ABCD$ 에서 삼각형 $\rm ABC$ 의 무게중심을 $\rm O$, 선분 $\rm AD$ 의 중점을 $\rm P$ 라 하자. 정사면체 $\rm ABCD$ 의 한 면 $\rm BCD$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 두 벡터 $\overrightarrow{\rm OQ}$ 와 $\overrightarrow{\rm OP}$ 가 서로 수직일 때, $\left | \overrightarrow{\rm PQ} \right |$ 의 최댓값은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 서로소인 자연수이다.)

정답 $19$