수학1_수학적 귀납법_괄호채우기_난이도 상

다음은 모든 자여연수 \(n\) 에 대하여 \[\sum \limits _{k=1}^{n} (5k-3) \left ( \dfrac{1}{k} +\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+\cdots +\dfrac{1}{n} \right ) = \dfrac{n(5n+3)}{4}\] 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(1) \(n=1\) 일 때, (좌변)=\(2\), (우변)=\(2\) 이므로 주어진 등식은 성립한다.
(2) \(n=m\) 일 때 성립한다고 가정하면  \[\sum \limits _{k=1}^{m} (5k-3) \left ( \dfrac{1}{k} +\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+\cdots +\dfrac{1}{m} \right ) = \dfrac{m(5m+3)}{4}\]이다. \(n=m+1\) 일 때 성립함을 보이자.
     \( \displaystyle \sum \limits _{k=1}^{m+1} (5k-3) \left ( \dfrac{1}{k} +\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} + \cdots + \dfrac{1}{m+1} \right ) \)
      \( =\sum \limits _{k=1}^{m} (5k-3) \left ( \dfrac{1}{k} +\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} + \cdots + \dfrac{1}{m+1} \right ) + \dfrac{(가)}{m+1} \) 
      \( =\sum \limits _{k=1}^{m} (5k-3) \left ( \dfrac{1}{k} +\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} + \cdots + \dfrac{1}{(나)} \right ) \)
                                                                     \(+ \dfrac{1}{m+1} \sum \limits _{k=1}^{m} (5k-3) + \dfrac{(가)}{m+1} \)  
      \(=\dfrac{m(5m+3)}{4} + \dfrac{1}{m+1} \sum \limits _{k=1}^{m+1} \left ( \;\;  (다) \;\; \right ) \)
      \(=\dfrac{(m+1)(5m+8)}{4}\)
그러므로 \(n=m+1\) 일 때도 성립한다.
따라서 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 주어진 등식은 성립한다. 

 
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

	(가)	(나)	(다)
①	\[5m-3\]	\[m\]	\[5k+2\]
②	\[5m-3\]	\[m+1\]	\[5k+2\]
③	\[5m+2\]	\[m\]	\[5k-3\]
④	\[5m+2\]	\[m\]	\[5k+2\]
⑤	\[5m+2\]	\[m+1\]	\[5k-3\]

 

정답 ③