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목록(8차) 수학1 질문과 답변/수열 (256)
수악중독
두 함수 \(f(x)=\log _2 x \) 와 \(g(x)=- \log _2 x\) 의 그래프의 교점을 \(\rm A_1\), 직선 \(x=2\) 가 세 함수 \(y=f(x),\; y=0,\; y=g(x)\) 의 그래프와 만나는 점을 각각 \(\rm B_1 ,\; A_2 ,\; C_1\) 이라 하고 삼각형 \(\rm A_1 B_1 C_1\) 의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 직선 \(x=2^2\) 이 세 함수 \(y=f(x),\; y=0,\; y=g(x)\) 의 그래프와 만나는 점을 각각 \(\rm B_2 ,\; A_3 ,\; C_2\) 이라 하고 삼각형 \(\rm A_2 B_2 C_2\) 의 넓이를 \(S_2\) 이라 하자. 직선 \(x=2^3\) 가 세 함수 \(y=f(x),\; y=0,\; y..
수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(a_1 =1,\;\; a_1 +a_2 +a_3 + \cdots + a_n = n^2 a_n\) 일 때, \(a_{2009}\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{2009 \cdot 2010}\) ② \(\dfrac{1}{2008 \cdot 2010}\) ③ \(\dfrac{1}{2008 \cdot 2009}\) ④ \(\dfrac{1}{1005 \cdot 2009}\) ⑤ \(\dfrac{1}{1004 \cdot 2008}\) 정답 ④
어떤 학생이 계발활동 시간에 목걸이를 만들고자 한다. 그림과 같이 세 종류의 인조 보석 다이아몬드, 구, 별 을 사용하여 처음에는 다이아몬드 1개, 구 1개, 별 2개를 꿰고 난 뒤, 다음 규칙을 순서대로 반복한다. \(\rm I\). 다이아몬드는 바로 전 단계에서 꿴 다이아몬드의 개수보다 \(1\) 개 더 많이 꿴다. \(\rm II\). 구는 바로 전 단계에 꿴 구의 개수보다 \(2\) 개 더 많이 꿴다. \(\rm III\). 별은 \(\rm I,\; II\) 에서 꿴 다이아몬드와 구의 개수를 더한 만큼 꿴다. 인조 보석 \(200\) 개를 사용하여 목걸이를 만들었을 때, 목걸이에 있는 구의 개수를 구하시오. 정답 64
한 변의 길이가 \(4\) 인 정육면체가 있다. [그림 1]은 이 정육면체의 각 모서리를 수직이등분하여 분리된 정육면체들을 나타낸 것이다. [그림 2]는 [그림 1]의 정육면체들의 각 모서리를 수직이등분하여 분리된 정육면체들을 나타낸 것이다. 이와 같은 시행을 계속해 나갈 때, \(5\) 회 시행 후 분리된 모든 정육면체들의 겉넓이의 합은? ① \(3 \times 2^{10}\) ② \(3 \times 2^{12}\) ③ \(3 \times 2^{15}\) ④ \(3 \times 2^{17}\) ⑤ \(3 \times 2^{20}\) 정답 ①
자연수 \(n,\;x,\;y\) 에 대하여 \(\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \;\;(x \le y) \) 과 같이 \(\dfrac{1}{n}\) 을 두 분수의 합으로 나타낼 수 있는 방법의 수를 \(a_n\) 이라 하자. 예를 들어, \(1= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \) 이므로 \(a_1\ = 1\), \(\dfrac{1}{2}= \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}\) 이므로 \(a_2 =2\), \(\dfrac{1}{3}= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6}\) 이므로 \(a_3 =2\) 이다. 다음..
수열 \(\{a_n\}\) 이 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \[1\cdot 2a_1 + 3 \cdot 4a_2 +5 \cdot 6 a_3 + \cdots + (2n-1)\cdot 2na_n \ge n\]을 만족시킬 때, 다음은 부등식 \[a_1 +a_2 +a_3 +\cdots + a_n \ge \;(가)\]이 성립함을 증명한 것이다. \(a_1 +a_2 +a_3 +\cdots +a_n\) \(=\left (1- \dfrac{1}{2} \right ) \left (1 \cdot 2a_1 \right )+ \left (\dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{4} \right ) \left (3 \cdot 4a_2 \right ) + \left (\dfrac{1}{5}- \dfrac{1}{6} \ri..
아래에서 제 \(n\) 행은 \(n\) 의 양의 약수를 나열한 것이다. 제 \(1\) 행부터 제 \(20\) 행까지 나열된 수의 개수를 구하시오. 정답 66
수열 \(\{a_n\}\) 이 \[T_n=2a_1 +3a_2 + \cdots + (n+1)a_n = \dfrac{n}{2n+4}\;\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\] 을 만족할 때, 다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \[\sum \limits_{k=1}^{n} a_k = \sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{1}{(k+1)^2}-T_n\;\; \cdots \cdots (★)\] 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (i) \(n=1\) 일 때, 좌변 \(=a_1 = \;\;(가)\) 우변 \(=\dfrac{1}{(1+1)^2}-T_1 = \;\;(가)\) 이므로 \((★)\)이 성립한다. (ii) \(n=m\) 일 때 \((★)\) 이 성립한다고 가정하면 \[\..
수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 =10\) 이고, \[a_{n+1}=a_1 + \dfrac{1}{2} a_2 + \dfrac{1}{3} a_3 + \cdots + \dfrac{1}{n} a_n \;\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\] 을 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정이다. \(n\ge 2\) 인 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_{n+1} - a_n =\left ( a_1 + \dfrac{1}{2}a_2 + \dfrac{1}{3}a_3 + \cdots + \dfrac{1}{n}a_n\right ) \) \(- \left ( a_1 + \dfrac{1}{2}a_2 + \dfrac{1}{3}a_3 + \cdots + \dfrac{1}{n-1}a_{n-1}\ri..
한 은행은 고객으로부터 \(100\) 만 원을 연이율 \(5\%\) 의 \(5\) 년 만기 정기예금으로 받으면, 그 중에서 \(90\) 만 원을 연이율 \(r\%\) 로 \(5\) 년 동안 대출하고 나머지 \(10\) 만 원은 예비비로 보관한다. \(5\) 년 후 은행은 대출금을 이자와 함께 회수하고 고객에게 정기예금을 이자와 함께 지불하여 \(20\) 만 원의 수익을 얻으려고 한다. 이때, 대출 이율 \(r\) 를 구하는 식은? (단, 모든 이자는 \(1\) 년 마다의 복리로 계산한다.) ① \(10^6 \times \left ( 1+ \dfrac{5}{100} \right )^5 - 9 \times 10^5 \times \left( 1+ \dfrac{r}{100} \right ) ^ 5 = 10^5\..