수악중독

좌표공간에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $9$ 인 구가 세 점 ${\rm A}(18,\;0,\;0),\;\;{\rm B}(0,\;9,\;0),\;\; {\rm C}(0,\;0,\;9)$ 를 지나는 평면에 의하여 잘린 도형의 넓이는 $a\pi$ 이다. 이때, $a$ 의 값을 구하시오. 정답 45

한 평면 위에 있지 않은 네 점 $\rm A,\;B,\;C,\;D$ 에 대하여 선분 $\rm BD$, 선분 $\rm CD$, 선분 $\rm AC$, 선분 $\rm AB$ 각각의 중점 $\rm E,\;F,\;G,\;H$ 는 한 평면 위에 있다. $\overline {\rm AB}= \overline {\rm CD}=7$, $\overline {\rm AC}=\overline {\rm BD}=5$, $\overline {\rm BC}=6$ 이고 평면 $\rm ABC$ 와 평면 $\rm BCD$ 가 이루는 각이 $60^o$ 일 때, 사각형 $\rm EFGH$ 의 평면 $\rm BCD$ 위로의 정사영의 넓이를 $S$ 라 하자. 이 때, $4S^2$ 의 값..

정 $n$ 각 기둥에서 밑면의 한 모서리와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수를 $f(n)$ 이라 하자. 예를 들어, $f(3)=3,\;\;f(4)=4$ 이다. 이때, $\sum \limits _{n=3}^{30} f(n)$ 의 값을 구하시오. 정답 826

한 변의 길이가 $2$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 의 각 변의 중점을 각각 $\rm E,\; F,\; G,\; H$ 라고 하자. 그림과 같이 합동인 $4$ 개의 포물선으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이가 $\dfrac{b\sqrt{2}}{a}- \dfrac{d}{c}$ 일 때, $a+b+c+d$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$, $c$ 와 $d$ 는 각각 서로소인 자연수이다.) 정답 21

모든 실수 $a$ 에 대하여 직선 $x+2ay=a^2 +1$ 이 지나지 않는 영역을 $A$ 라 하자. 영역 $A$ 중에서 $x \ge 0$ 인 부분을 $y$ 축의 둘레로 회전하여 생긴 회전체의 부피는? ① $\dfrac{3}{4}\pi$ ② $\pi$ ③ $\dfrac{16}{15}\pi$ ④ $\dfrac{6}{5}\pi$ ⑤ $\dfrac{4}{3}\pi$ 정답 ③

두 다항식 $f(x),\;g(x)$ 에 대하여 분수부등식 $\dfrac{1}{f(x)}+\dfrac{1}{g(x)}=1$ 을 풀어 무연근 $\alpha$ 와 무연근이 아닌 근 $\beta$ 를 얻었다. 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. $f(\beta)+g(\beta) =0$ 이다. ㄴ. $f(\beta) \ne 1,\; g(\beta) \ne 1$ 이다. ㄷ. $x- \alpha$ 는 두 다항식 $f(x),\; g(x)$ 의 공약수이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

$1$ 이 적혀 있는 구슬이 한 개, $2$ 가 적혀 있는 구슬이 두 개, $3$ 이 적혀 있는 구슬이 세 개, $\cdots$ , $n$ 이 적혀 있는 구슬이 $n$ 개 들어 있는 주머니에서 임의로 한 개의 구슬을 꺼냈을 때, 그 구슬에 적혀 있는 수를 확률변수 $X$ 라 하자. 이때, 옳은 것을 에서 모두 고른 것은? ㄱ. $X=n$ 일 확류을 ${\rm P} (X=n)$ 이라 할 때, $\lim \limits _{n \to \infty} n {\rm P}(X=n)=2$ 이다. ㄴ. $X$ 의 평균을 ${\rm E}(X)$ 라 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} {\Large \frac{1}{n}} {\rm E} (X) = {\..

그림과 같이 $12$ 개의 전구와 전광판으로 이루어진 신호기가 있다. $m$ 열의 전구가 $n$ 개 켜져 있는 경우 $n \cdot 4^{m-1}$ 으로 계산되고, 네 개의 열이 계산된 수의 합이 전광판에 나타난다. 예를 들어, $1$ 열에서 $1$ 개, $3$ 열에서 $2$ 개의 전구가 켜진 경우, 전광판에 $33$ 이 나타난다. $12$ 개의 전구 중 임의로 $2$ 개를 켤 때, 전광판에 짝수가 나타날 확률을 $\large \frac{q}{p}$ ($p,\;q$ 는 서로)라고 하자. $p+q$ 의 값을 구하시오. 정답 35

$1$ 부터 $100$ 까지의 자연수를 곱하여 만든 수를 $P$ 라 하자. 즉, $P=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \cdots \times 98 \times 99 \times 100$ 일 때, $\dfrac{P}{3^n}$ 가 정수가 되는 자연수 $n$ 의 최댓값을 구하시오. 정답 48

빨간색, 파란색, 노란색 세 개의 주사위를 동시에 굴려서 나온 세 눈의 수가 정삼각형이 아닌 이등변삼각형의 세 변의 길이가 될 확률을 $\large \frac{q}{p}$ 라 할 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p,\;q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 31