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수악중독
다음은 함수의 증가, 감소를 이용하여 두 수 \(2004^{2005}\) 와 \(2005^{2004}\) 의 대소 관계를 알아보는 과정이다. (단, \(e\) 는 자연로그의 밑이다.) 함수 \(f(x)=x^{\frac{1}{x}} \;\;(x>0)\) 에 대하여 \(x>e\) 일 때, \(f'(x)\) [ (가) ] \(0\) 이므로 \(f(2004)\) [ (나) ] \(f(2005)\) 따라서 \(2004^{2005}\) [ (다) ] \(2005^{2004}\) 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 부등호를 순서대로 적은 것은? ① \(>,\; >, \;>\) ② \(>,\; \) ⑤ \(, \;
그림은 함수 \( f(x) = \left \{ {\begin{array}{cl}1 & {\left( {x \le 0} \right)} \\ {-x+1} & {\left( {x>0} \right ) }\end{array}} \right. \) 의 그래프이다. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(g(x)\) 를 \[g(x)=\int _{-1}^x e^t f(t) dt\] 라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(g(0)=1-\dfrac{1}{e}\) ㄴ. 함수 \(g(x)\) 는 극댓값 \(e- \dfrac{1}{e}\) 을 갖는다. ㄷ. 방정식 \(g(x)=0\) 의 실근의 개수는 \(2\) 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 \(f(x)\) 가 \(f(-1)=-1, \; f(0)=1, \; f(1)=0\) 을 만족시킬 때, 에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(f(a)=\dfrac{1}{2}\) 인 실수 \(a\) 가 구간 \((-1, \;1)\) 에 두 개 이상 존재한다. ㄴ. \(f'(b)=-1\) 인 실수 \(b\) 가 구간 \((-1, \; 1)\) 에 적어도 한 개 존재한다. ㄷ. \(f''(c)=0\) 인 실수 \(c\) 가 구간 \((-1, \;1)\) 에 적어도 한 개 존재한다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②
그림과 가이 함수 \(f(x)=1-e^{-x}\) 에 대하여 곡선 \(y=f(x)\) 위의 원점 \(\rm O\) 에서의 접선이 직선 \(y=1\) 과 만나는 점을 \(\rm P_1\) 이라 하자. 점 \(\rm P_1\) 을 지나고 \(y\) 축에 평행한 직선이 곡선 \(y=f(x)\) 와 만나는 점을 \(\rm Q_1\), 점 \(\rm Q_1\) 에서의 접선이 직선 \(y=1\) 과 만나는 점을 \(\rm P_2\) 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 점 \(\rm P_{\it n}\) 을 지나고 \(y\) 축에 평행한 직선이 곡선 \(y=f(x)\) 와 만나는 점을 \(\rm Q_{\it n}\), 점 \(\rm Q_{\it n}\) 에서의 접선이 직선 \(y=1\) 과 만나는 점을 \(\rm ..
그림과 같이 함수 \(y=\ln x+4, \;\; y=e^{x-4}\) 의 그래프의 두 교점의 \(x\) 좌표를 각각 \(a,\;b\) 라 하자. 일차함수 \(y=-x+k\) 의 그래프가 \(a\leq x \leq b\) 에서 두 함수의 그래프와 만나는 점 사이의 거리가 최대가 될 떄, 상수 \(k\) 의 값은? ① \(\dfrac{7}{2}\) ② \(4\) ③ \(\dfrac{9}{2}\) ④ \(5\) ⑤ \(\dfrac{11}{2}\) 정답 ④
곡선 \(y=x^2 -2x\) 와 직선 \(y=mx \;(m \ne -2)\) 의 두 교점을 \(\rm O, \;P\) 라 하고, \(\rm O, \;P\) 에서 곡선에 그은 두 접선의 교점의 \(x\) 좌표가 \(3\) 일 때, 곡선 \(y=x^2 -2x\) 와 선분 \(\overline{\rm OP}\) 로 둘러싸인 부분에 내접하는 삼각형 \(\rm OPQ\) 의 넓이가 최대가 되는 점 \(\rm Q\) 의 좌표를 \((a, \;b)\) 라고 한다. \(a+b\) 의 값을 구하시오. 정답 \(6\)
원점에서 곡선 \(y=(x-a)e^{-x}\) 에 서로 다른 두 개의 접선을 그을 수 있을 때, 자연수 \(a\) 의 최솟값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ①
최고차항의 계수가 \(1\) 인 삼차함수 \(f(x)\) 의 역함수를 \(g(x)\) 라 할 때, \(g(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(g(1)=2\) (나) \(\lim \limits_{x \to 2} \dfrac{f(x)-1}{g(x)+1}=f'(2)\) \(f(5)\) 의 값은? ① \(28\) ② \(30\) ③ \(32\) ④ \(34\) ⑤ \(36\) 정답 ①
실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 미분 가능한 함수 \(f(x)\) 가 모든 실수 \(x, \;y\) 에 대하여 \[f(x+y) \geq f(x)+f(y)-(xy-1)^2\] 이고 \(f(0) \geq 1,\; f'(0)=1\) 일 때, \(f(2)\) 의 값은? ① \(5\) ② \(6\) ③ \(7\) ④ \(8\) ⑤ \(9\) 정답 ③
닫힌구간 \([0, \;4]\) 에서 정의되고, 열린구간 \((0, \;4)\) 에서 미분 가능한 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프와 직선 \(y=x\) 가 그림과 같다. \(f(2)=2,\;\;f(3)=3,\;\;f'(2)=1\) 이고, 함수 \(f(x)\) 의 역함수 \(f^{-1}(x)\) 가 열린구간 \((0,\;4)\) 에서 미분 가능할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, \(f'(x)\) 는 열린구간 \((0,\;4)\) 에서 증가한다.) ㄱ. \(\left ( f^{-1} \right )'(1)=1\) ㄴ. \(f'(3) \cdot \left (f^{-1} \right )'(3)=1\) ㄷ. 열린구간 \((0,\;4)\) 에서 \(f'(x) \cdot \left (f^..