수악중독

한 개의 주사위를 두 번 던져 나온 눈의 수를 차례대로 $a , \; b$ 라고 할 때, 좌표평면 위의 점 ${\rm P }(a,\;b)$ 와 원 $(x-2)^2+(y-1)^2=1$ 위의 임의의 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\overline {{\rm{PQ}}}$ 의 최댓값이 $5$ 이상일 확률은? ① $\dfrac{4}{9}$ ② $\dfrac{17}{36}$ ③ $\dfrac{1}{2}$ ④ $\dfrac{19}{36}$ ⑤ $\dfrac{5}{9}$ 정답 ②

두 개의 주사위를 던져 나온 눈을 각각 $a , \; b$ 라고 할 때, $\dfrac{b}{a}$ 또는 $\dfrac{a}{b}$ 가 정수가 될 확률은? ① $\dfrac{7}{12}$ ② $\dfrac{11}{18}$ ③ $\dfrac{23}{36}$ ④ $\dfrac{2}{3}$ ⑤ $\dfrac{25}{36}$ 정답 ②

주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 $m, \; n$ 이라 하고 $x ^3 = 1$ 의 한 허근을 $\omega$ 라 하자. $\omega^m + \omega^n = 1$ 이 실수가 될 확률이 $\dfrac{b}{a}$ 일 때, $a^2 + b^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a , \; b$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 10

그림은 왼쪽의 입력 신호 $a, \;b$ 를 오른쪽으로 전달하여 신호를 출력하는 장치를 나타낸 것이다. 이 장치가 [그림1]과 같이 출력할 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3}$ 이고, [그림2]와 같이 출력할 확률은 $\displaystyle \frac{2}{3}$ 이다. 이 장치 $4$ 개를 아래 그림과 같이 연결하고, 입력신호를 $1,\;2,\;3,\;4$ 로 하였을 때의 출력신호를 $x,\;y,\;z,\;w$ 라 하자. 이 때, $y=3$ 또는 $z=1$ 일 확률은? (단, 각 장치들은 독립적으로 작동한다.) ① $\displaystyle \frac{22}{81}$ ② $\displaystyle \frac{23}{81}$ ③ \(\display..

$3$ 문제가 차례로 주어지는 퀴즈대회에서 한 문제를 틀리면 다음 문제에 도전하지 못한 채 탈락하고, 세 문제를 모두 맞히면 상품을 받는다고 한다. 이 퀴즈대회에 출전한 경험이 있는 사람들을 대상으로 조사했더니, 첫 번째 문제를 맞힐 확률은 $60\%$, 두 번째 문제에 도전했을 때 그 문제를 맞힐 확률은 $40\%$ 이었고, 세 번째 문에제 도전했을 때 그 문제를 맞힐 확률은 $p\%$ 이었다. 이 퀴즈대회에 출전했던 사람 중에서 한 명을 임의로 택할 때, 이 사람이 세 번째 문제에서 탈락했을 확률은 두 번째 문제에서 탈락했을 확률의 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 배와 같다고 한다. 이 때, 자연수 $p$ 의 값을 구하시오. 정답 25

$A,\;B$를 포함하여 $8$개의 팀이 출전한 축구대회가 토너먼트 형식으로 진행된다. 이 경기에서 각 팀이 이길 확률은 $\displaystyle \frac{1}{2}$로 동일하다고 할 때, $A$팀이 우승, $B$ 팀이 준우승을 하게 될 확률을 구하면 $\displaystyle \frac{q}{p}$라고 한다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p,\;q$는 서로소인 자연수이다.) 정답 65

그림과 같은 도로망이 있다. 5개의 지점 $\rm A,\;B,\;C,\;D,\;E$ 에서 각각의 길을 선택할 확률은 모두 같다. 즉, $\rm A$에서 $\rm B,\;E,\;D$ 에 갈 확률은 각각 $\dfrac{1}{3}$이고, $\rm E$ 에서 $\rm A,\;B,\;C,\;D$ 에 갈 확률은 각각 $\dfrac{1}{4}$이다. 한 번에 바로 연결된 다른 지점으로만 갈 수 있을 때, $\rm A,\;C$ 두 지점에 각각 있던 갑과 을이 동시에 움직여 두 번째 이동 후 처음으로 만날 확률은? ① $\dfrac{5}{36}$ ② $\dfrac{4}{27}$ ③ $\dfrac{5}{27}$ ④ $\dfrac{7}{36}$ ⑤ $\dfrac{7}{27}$ ..

어떤 비밀 회의 후 갑은 회장이"$\rm A$가 차기 회장 후보이다."라는 발언을 햇따고 하고, 을은 회장이 그런 발언을 하지 않았다고 하였다. 이 두 사람이 진실을 말할 확률이 각각 $\dfrac{4}{5},\;\dfrac{5}{6}$ 라고 하면, 회장이 실제로 그 발언을 했을 확률은 $\dfrac{p}{q}$ 이다. 이 때, $p+q$의 값은? 단, 회장이 "$\rm A$가 차기 회장 후보이다."라는 발언을 할 확률과 하지 않을 확률은 같고, $p,\;q$는 서로소인 자연수이다. ① $13$ ② $14$ ③ $15$ ④ $16$ ⑤ $17$ 정답 ①

주머니 안에 스티커가 1개, 2개, 3개 붙어 있는 카드가 각각 1장씩 들어 있다. 주머니에서 임의로 카드 1장을 꺼내어 스티커 1개를 더 붙인 후 다시 주머니에 넣는 시행을 반복한다. 주머니 안의 각 카드에 붙어 있는 스티커의 개수를 3으로 나눈 나머지가 모두 같아지는 사건을 $\rm A$라 하자. 시행을 6번 하였을 때, 1회부터 5회까지는 사건 $\rm A$가 일어나지 않고, 6회에서 사건 $\rm A$가 일어날 확률을 $\dfrac{p}{q}$라 하자. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 11

아래 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정사각형 $\rm ABCD$가 있다. 동점 $\rm P$는 한 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수에 따라 다음과 같은 규칙으로 정사각형 $\rm BACD$ 변 위를 움직여서 각 꼭짓점에 도착한다고 한다. (가) 주사위의 눈의 수가 3 이하이면, 시계 반대 방향으로 (눈의 수)$\times$2 만큼 움직인다. (나) 주사위의 눈의 수가 4 이상이면, 시계 방향으로 (눈의 수) 만큼 움직인다. 예를 들어, 꼭짓점 $\rm A$에 있던 동점 $\rm P$는 3의 눈이 나오면 시계 반대 방향으로 6만큼 움직여서 꼭짓점 $\rm C$에 도착하고, 다시 5의 눈이 나오면 시계 방향으로 5만큼 움직여서 꼭짓점 $\rm B$에 도착한다. 동점 \(\..