수악중독

다음과 같이 수가 증가하는 컴퓨터 바이러스가 있다. 각 단계마다 각 개체는 다른 개체와는 독립적으로 $p$ 의 확률로 $1$ 개, $1-p$ 의 확률로 $2$ 개의 새로운 개체를 다음 단계로 남기고 자신은 소멸된다. 예를 들면, 다음은 $1$ 개체가 제 $0$ 단계에서 시작하여 제 $4$ 단계에 바이러스가 $4$ 개체가 된 경우 중 하나를 나타낸 것이다. 지금 컴퓨터에 침입한 바이러스 $1$ 개체가 제 $0$ 단계에서 시작하여 제 $n$ 단계에 $m$ 개의 개체일 확률을 ${\rm P}_n (m)$ 이라고 할 때, $\lim \limits _{n \to \infty} {\Large \frac{{\rm P}_n (2)}{p^n}}$ 의 값은? (단, \(0

네 자리 자연수 $abcd$ 의 각 자릿수 $a,\;b,\;c,\;d$ 는 다음 두 조건을 만족시킨다. (가) 집합 $A=\{1,\;2,\;3,\;4,\;5\}$ 에 대하여$a\in A,\; b\in A, \; c\in C,\; d\in A$(나) \(a\le b

갑과 을은 바둑돌을 $3$ 개, $2$ 개씩 가지고 시합을 하여 진 사람이 이긴 사람에게 바둑돌 한 개를 주는 게임을 한다. 어느 한 사람의 바둑돌이 전부 없어질 때까지 게임을 할 때, 갑이 이길 확률은? (단, 한 번의 시합에서 비기는 경우는 없고, 갑, 을이 이길 확률은 각각 $\large \frac{1}{2}$ 이다. ) ① $\large \frac{2}{3}$ ② $\large \frac{3}{4}$ ③ $\large \frac{3}{5}$ ④ $\large \frac{4}{5}$ ⑤ $\large \frac{4}{7}$ 정답 ③

넓은 마루에 간격이 $2\sqrt{3}$ 인 평행선들이 무수히 그어져 있다. 길이가 $4$ 인 바늘을 이 마루에 떨어뜨렸을 때, 이 바늘이 평행선과 만날 확률을 구하시오. 정답은 풀이 참조

그림과 같이 $12$ 개의 전구와 전광판으로 이루어진 신호기가 있다. $m$ 열의 전구가 $n$ 개 켜져 있는 경우 $n \cdot 4^{m-1}$ 으로 계산되고, 네 개의 열이 계산된 수의 합이 전광판에 나타난다. 예를 들어, $1$ 열에서 $1$ 개, $3$ 열에서 $2$ 개의 전구가 켜진 경우, 전광판에 $33$ 이 나타난다. $12$ 개의 전구 중 임의로 $2$ 개를 켤 때, 전광판에 짝수가 나타날 확률을 $\large \frac{q}{p}$ ($p,\;q$ 는 서로)라고 하자. $p+q$ 의 값을 구하시오. 정답 35

빨간색, 파란색, 노란색 세 개의 주사위를 동시에 굴려서 나온 세 눈의 수가 정삼각형이 아닌 이등변삼각형의 세 변의 길이가 될 확률을 $\large \frac{q}{p}$ 라 할 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p,\;q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 31

$5$ 개의 제비 중에서 당첨제비가 $2$ 개 있다. 갑이 먼저 한 개의 제비를 뽑은 다음 을이 한 개의 제비를 뽑을 때, 갑이 당첨제비를 뽑을 사건을 $A$, 을이 당첨제비를 뽑을 사건을 $B$ 라 하자. 에서 옳은 것을 모두 고른 것은?(단, 한 번 뽑은 제비는 다시 넣지 않는다.) ㄱ. ${\rm P}(A)={\rm P}(B)$ ㄴ. ${\rm P} (B \;\vert \;A) > {\rm P} \left (B \;\vert \;A^c \right )$ ㄷ. ${\rm P} (B \;\vert \;A) = {\rm P} (A \;\vert \;B)$ ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄷ 정답 ①

주사위를 $10$ 번 던졌을 때, $3$ 의 배수의 눈이 홀수번 나올 확률은? ① $\left ( {\large \frac{1}{3}} \right )^{10}$ ② $1-\left ( {\large \frac{1}{3}} \right )^{10}$ ③ $\left ( {\large \frac{2}{3}} \right )^{10}$ ④ ${\large \frac{1}{2}} \left \{ 1- \left ( {\large \frac{1}{3}} \right )^{10} \right \}$ ⑤ ${\large \frac{1}{2}} \left \{ 1- \left ( {\large \frac{2}{3}} \right )^{10} \right \}$ 정답 ④

그림과 같은 좌표평면 위에서 두 점 $\rm A$ 와 $\rm B$는 동시에 각각 한 칸씩 움직인다. 점 $\rm A$ 는 $(0,\;0)$ 에서 출발하여 한 번에 한 칸씩 오른쪽 또는 위쪽으로 움직이고, 점 $\rm B$ 는 $(5,\;7)$ 에서 출발하여 한 번에 한 칸씩 왼쪽 또는 아래쪽으로 움직인다. 좌표평면 위에서 두 점이 만날 확률은? (단, $\rm O$ 는 원점이고, 각각 $6$ 번 움직이는 동안 가능한 최단 경로들 중에서 하나의 경로를 선택할 확률은 같다.) ① $\large \frac{19}{512}$ ② $\large \frac{29}{512}$ ③ $\large \frac{88}{441}$ ④ $\large \frac{121}{441}$ ⑤..