수악중독

함수 \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{{x^2} + kx + k}&{\left( {x a + 1} \right)}\\{4x - 1}&{\left( {a \le x \le a + 1} \right)}\end{array}} \right.\] 이 모든 실수 \(x\) 에서 연속일 때, 두 상수 \(a,\;k\) 의 합 \(a+k\) 의 최댓값은? ① \(5\) ② \(6\) ③ \(7\) ④ \(8\) ⑤ \(9\) 정답 ③

함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{\dfrac{{a\sqrt {x + 2} + b}}{{x - 2}}}&{\left( {x \ne 2} \right)}\\2&{\left( {x = 2} \right)}\end{array}} \right.\) 가 \(x=2\) 에서 연속일 때, 두 상수 \(a, \;b\) 에 대하여 \(2a-b\) 의 값을 구하시오. 정답 \(32\)

\(x>0\) 에서 정의된 함수 \[f(x)= \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{x^n+[x]^{n-1}}{[x]^n+x^{n-1}}\]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ㄱ. \(f \left (\dfrac{1}{2} \right ) = \dfrac{1}{2}\) ㄴ. \(\lim \limits_{x \to 2} f(x)=2\) ㄷ. 함수 \(f(x)\) 가 \(x=k\) 에서 연속이 되도록 하는 자연수 \(k\) 는 \(1\) 개이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

연속함수 \(f(x)\) 가 \(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = \lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}=a\) 를 만족할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, \(a \ne -1\) 인 상수이다.) ㄱ. \(\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x^3-1} = \dfrac{a}{3}\) ㄴ. \(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{x-f(x)}{x+f(x)} = \dfrac{1-a}{1+a}\) ㄷ. 방정식 \(f(x)\) 은 열린구간 \((0,\;1)\) 에서 적어도 한 개의 실근을 갖는다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{cl}{\dfrac{2}{{x - 2}}}&{\left( {x \ne 0} \right)}\\1&{\left( {x = 2} \right)}\end{array}} \right.\) 와 이차함수 \(g(x)\) 는 다음 두 조건을 만족시킨다. (가) \(g(0)=8\) (나) 함수 \(f(x)g(x)\) 는 모든 실수에서 연속이다. 이때, \(g(6)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(32\)

함수 \(f(x)=x^2-x+a\) 에 대하여 함수 \(g(x)\) 를 \[g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{f\left( {x + 1} \right)}&{\left( {x \le 0} \right)}\\{f\left( {x - 1} \right)}&{\left( {x > 0} \right)}\end{array}} \right.\] 이라 하자. 함수 \(y=\{g(x)\}^2\) 이 \(x=0\) 에서 연속일 때, 상수 \(a\) 의 값은? ① \(-2\) ② \(-1\) ③\(0\) ④ \(1\) ⑤ \(2\) 정답 ②

함수 \(f(x)\) 에 대하여 불연속점의 개수를 \(N(f)\) 로 나타내자. 예를 들면, \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll} 1&{\left( {x \le 0} \right)}\\0&{\left( {x > 0} \right)} \end{array}} \right.\) 이면 \(N(f)=1\) 이다. 다음 두 함수 \(g(x),\;h(x)\) 에 대하여 \[ a_1=N(g+h),\; a_2=N(gh),\; a_3=N(|h|)\] 라 할 때, \(a_1 ,\; a_2 ,\; a_3\) 의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? (단, \((g+h)(x)=g(x)+h(x),\; (gh)(x)=g(x)h(x),\; |h|(x)=|h(x)|\) 이다.) ① \(a_..

함수 \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{x + 1}&{\left( {x \le 0} \right)}\\{ - \dfrac{1}{2}x + 7}&{\left( {x > 0} \right)}\end{array}} \right.\] 에 대하여 함수 \(f(x)f(x-a)\) 가 \(x=a\) 에서 연속이 되도록 하는 모든 실수 \(a\) 의 값의 합을 구하시오. 정답 \(13\)

함수 \(f(x)\) 가 임의의 두 실수 \(x, \;y\) 에 대하여 \[f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy-1\] 을 만족시킨다. 함수 \(f(x)\) 가 \(x=0\) 에서 연속일 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(f(0)=1\) ㄴ. 함수 \(f(x)\) 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. ㄷ. 방정식 \(f(x)=0\) 은 구간 \((-1, \;1)\) 에서 적어도 하나의 실근을 가진다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

함수 \(f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{x^{2n+1}}{x^{2n}+1} \) 와 함수 \(y=g(x)\) 에 대하여 합성함수 \(y= g \left ( f(x) \right )\) 가 모든 실수에 대하여 연속이 되도록 하는 함수 \(y=g(x)\) 의 그래프의 개형으로 알맞은 것은? 정답 ④