수악중독

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\) 가 모든 실수 \(t\) 에 대하여 \(\displaystyle \int_0^2 xf(tx) dx=4t^2\) 을 만족시킬 때, \(f(2)\) 의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ④

두 함수 \(f(x), \; g(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 다음 조건을 만족시킬 떄, \(f(0)\) 의 값은? (단, \(a\) 는 상수이다.) (가) \(\displaystyle \int _{\frac{\pi}{2}}^{x} f(t) dt = \{ g(x) +a \} \sin x -2\) (나) \(g(x)=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t) dt \cos x +3\) ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ④

연속함수 \(y=f(x)\) 의 그래프가 원점에 대하여 대칭이고, 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \[ f(x)=\dfrac{\pi}{2} \displaystyle \int _1 ^{x+1} f(t) dt \] 이다. \(f(1)=1\) 일 때, \[ \pi ^2 \displaystyle \int _0^1 xf(x+1) dx\] 의 값은? ① \(2(\pi-2)\) ② \(2\pi -3\) ③ \(2(\pi-1)\) ④ \(2\pi -1\) ⑤ \(2\pi\) 정답 ①

삼차함수 \(f(x)=x^3 -3x+a\) 에 대하여 함수 \(F(x)=\displaystyle \int _{0}^{x} f(t) dt\) 가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 양수 \(a\) 의 최솟값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ②

다항함수 \(f(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(-x)=-f(x)\) 를 만족시킨다. 함수 \(g(x)\) 를 \[g(x)=\dfrac{d}{dx} \displaystyle \int _{-\frac{\pi}{2}}^{x} \cos x \cdot f(t) dt\] 라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(g(0)=0\) ㄴ. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(g(-x)=-g(x)\) 이다.ㄷ. \(g'(x)=0\) 인 실수 \(c\) 가 열린구간 \(\left ( - \dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{\pi}{2} \right ) \) 에서 적어도 두 개 존재한다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

함수 \( f(x) \) 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 \( x \ne 1 \) 인 모든 실수 \( x \) 에 대하여 \( \dfrac{1}{x-1} \displaystyle \int_{1}^{x} f(t){\rm d}t = x^3 \) 일 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \( f(2)=20\)ㄴ. \( f(x) \) 는 \( x=0\)에서 극대이다.ㄷ. \( y=f(x) \) 의 그래프는 \( x \) 축에 접한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

사차함수 \( f(x) \) 의 그래프가 그림과 같을 때, 함수 \( F(x) \) 를\[ F(x) = \displaystyle \int_b^x {f(t){\rm{d}}t} \] 로 정의하자. 옳은 것만을 보기에서 있는대로 고른 것은? (단, \( a>0 \) 이고 \( b \) 는 상수이다.) ㄱ. 함수 \( F(x) \) 는 \( x=0 \) 에서 극값을 갖는다. ㄴ. \( b=-a \) 이면 방정식 \( F(x)=a \) 는 오직 하나의 실근을 갖는다. ㄷ. 등식 \( F(0)=0 \) 이 되도록 하는 \( b\)는 \( 3\)개다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

함수 \( y=f(x) \) 의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 함수 \( F(x) \) 를 \[F(x) = \int_a^x {f(t){\rm{d}}t} \] 로 정의한다. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, \( \alpha < 0

\( f(x), \; f'(x) \) 는 모두 연속함수 이고, \( f(x) = x^2 + 2x + \displaystyle \int_0^x {(x - t)f'(t){\rm{d}}t} \)일 때, \( f'(2) - f(2) \) 의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(6\) ⑤ \(9\) 정답 ④

연속함수 \( f(x) \) 와 임의의 두 실수 \(a, \; b \) 에 대하여 \(y=f(x) \) 의 그래프와 두 직선 \(x=a,\;x=b\) 및 \( x\) 축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 \( (b-a) (a^2 + ab + b^2 +1 ) \) 이라고 할 때, \( f(3) \) 의 값을 구하면? (단, \( f(x) \geq 0 \) ) ① \( 9 \) ② \( 15 \) ③ \( 24 \) ④ \( 28 \) ⑤ \( 30 \) 정답 ④