수악중독

상수 \( a, \; b \) 에 대하여 함수 \(f(x) = \displaystyle \int_0^x {\left( {t - a} \right)\left( {t - b} \right){\rm{d}}t} \) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \( f(b)-f(a) = \dfrac{4}{3} \) (나) 함수 \( f(x) \) 는 \( x=1 \) 에서 극값을 갖는다. (다) \( f'(0) > 0 \) \( 10a + b \) 의 값을 구하시오. 정답 31

함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{ - 1}&{\left( {x < 1} \right)}\\{ - x + 2}&{\left( {x \ge 1} \right)}\end{array}} \right.\) 에 대하여 함수 \(g(x)\) 를 \[g(x)=\displaystyle \int _{-1}^x (t-1)f(t) dt\]라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(g(x)\) 는 구간 \(1,\;2\) 에서 증가한다. ㄴ. \(g(x)\) 는 \(x=1\) 에서 미분가능하다. ㄷ. 방정식 \(g(x)=k\) 가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\) 가 존재한다. ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ..

양의 실수에서 정의된 연속함수 \(f(x)\) 가 임의의 양수 \(x\) 에 대하여 \[\displaystyle \int_{x}^{x^2} f(t) dt = \int_{1}^{x} f(t) dt ,\;\;f(1)=1\] 을 만족한다. 이때, \(100 \left \{ f(1)-f(2) \right \}\) 의 값은? ① \(-100\) ② \(-50\) ③ \(1\) ④ \(50\) ⑤ \(100\) 정답 ④

삼차함수 \(f(x)=ax^3 +bx^2 +cx+d\) 가 다음 두 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(-x)=-f(x)\) 이다. (나) \(\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \frac{1}{2} \) \(\displaystyle \int_{-1}^1 (ax+c)f(x) dx \) 의 값을 최소로 하는 \(f(x) \) 에 대하여 \(f(-2)\) 의 값을 구하시오. (단, \(a, \;b,\;c,\;d \) 는 상수이다.) 정답 33

함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{ - 1} & {(x < 1)} \cr{ - x + 2} & {(x \ge 1)}} } \right.\)에 대하여 함수 \(g(x)\) 를 \[g(x)=\int_{ - 1}^x {\left( {t - 1} \right)f\left( t \right)dt} \] 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(g(x)\)는 구간 \( (1,\;2)\)에서 증가한다. ㄴ. \(g(x)\)는 \(x=1\)에서 미분가능하다. ㄷ. 방정식 \(g(x)=k\)가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)가 존재한다. ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

\(x>0\) 일 때, 함수 \(f(x)=\displaystyle \int _{x}^{x+1} \left (t+{\dfrac{2}{t}} \right ) dt\) 의 최솟값은? ① \({\dfrac{1}{2}} + \ln 2\) ② \({\dfrac{3}{2}} + \ln 2\) ③ \({\dfrac{5}{2}} + \ln 2\) ④ \({\dfrac{1}{2}} + 2\ln 2\) ⑤ \({\dfrac{3}{2}} +2 \ln 2\) 정답 ⑤

다음 두 조건 \(\rm I, II\) 를 만족시키는 함수 \(f(x)\) 가 있다. \({\rm I}. \;\; {\displaystyle \int} _{0}^{1} \! f(t) dt =1\) \({\rm II}.\) 임의의 실수 \(x\) 에 대하여 \({\displaystyle \int}_{0}^{x} f(t) dt = {\dfrac{3}{2}} x^2 \cdot {\displaystyle \int}_{0}^{a} t f(t) dt \) 이때, 정적분 \({\displaystyle \int}_{a}^{3a} f(x) dx \)의 값은? ① \(2\) ② \(3\) ③ \(5\) ④ \(6\) ⑤ \(8\)