수악중독

미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음의 등식을 만족시킬 때, $f(1)$ 의 값을 구하시오.$$\displaystyle \int_0^x f(t) \; dt = x^3 - 3x^2 +x + \int_0^x tf(x-t)dt, \;\; f(0)=1$$ 정답 $e-6$

실수 $a$ 와 함수 $f(x)=\dfrac{1}{2}x^4+\dfrac{1}{4}x^2 -c$ ($c>0$ 인 상수)에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\; dt$ 라 하자. 함수 $y=g(x)$ 의 그래프가 $x$ 축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 $2$ 개가 되도록 하는 모든 $a$ 의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $\alpha_1, \; \alpha_2, \; \cdots, \; \alpha_m$ ($m$ 은 자연수)이다. $a=\alpha_1$ 일 때, 함수 $g(x)$ 와 상수 $k$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=2$ 에서 극솟값을 갖는다.(나) $\displaystyle \int_{\alpha..

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $x \ge 2$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)>0$, $f(x)= \sqrt{2}e^2 + \displaystyle \int_2^x \dfrac{2 \left (t^2-t \right) e^{2t}}{f(t)} dt$ 이다.(나) $x

실수 $a$ 와 함수 $f(x)=\ln \left ( x^4+1\right ) -c$ ($c>0$인 상수) 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\; dt$$ 라 하자. 함수 $y=g(x)$ 의 그래프가 $x$ 축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 $2$ 가 되도록 하는 모든 $a$ 의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $\alpha_1, \;\alpha_2, \; \cdots, \; \alpha_m$ ($m$ 은 자연수)이다. $a=\alpha_1$ 일 때 함수 $g(x)$ 와 상수 $k$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=1$ 에서 극솟값을 갖는다.(나) $\displaystyle \int_{\alpha_1}^{\a..

다음 그림과 같이 극댓값 $1$ 을 갖는 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 $g(x) = \displaystyle \int_x^{x+2} f(t) dt$ 라 하면 함수 $g(x)$ 는 $x=\alpha$ 에서 극댓값과 $x=\beta$ 에서 극솟값을 갖는다. 다음 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $\alpha, \; \beta$는 실수이다.)ㄱ. $\alpha=0$ 이다.ㄴ. 방정식 $g(x)=1$ 은 서로 다른 실근 $2$ 개를 갖는다.ㄷ. $\dfrac{g(\alpha)+g(\beta)}{2} = f(\beta)$ ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

열린 구간 $\left ( 0, \; \dfrac{\pi}{2} \right )$ 에서 정의된 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 이 구간에 속하는 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(x)>0$(나) $f(x)=2\sqrt{f(x)}\sin x - \displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^x \dfrac{f'(t) \sin t}{\sqrt{f(t)}} dt$ 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f \left (\dfrac{\pi}{6} \right ) =1 $ㄴ. $\dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} = \cos x$ㄷ. $f \left (\dfrac{\pi}{3} \right ) = \dfrac{2+ \sqrt{3}}{2}$ ① ..

구간 $[0, \;1]$ 에서 정의된 연속함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$F(x) = \displaystyle \int_0^x f(t) dt \;\; (0 \le x \le 1)$$ 은 다음 조건을 만족시킨다.(가) $F(x) = f(x)-x$(나) $\displaystyle \int_0^1 F(x) dx = e - \dfrac{5}{2}$ 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?ㄱ. $F(1)=e$ㄴ. $\displaystyle \int_0^1 x F(x) dx = \dfrac{1}{6}$ㄷ. $\displaystyle \int_0^1 \left \{ F(x) \right \}^2 dx = \dfrac{1}{2} e^2 -2e+\dfrac{11}{6}$ ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ..

함수 $f \left (e^x \right ) = ax^3 + bx^2 +cx+d$ (단, $a, \;b, \;c, \;d$ 는 상수) 가 다음 조건을 만족한다. (가) $f(e)=3, \;\; f \left (e^2 \right ) =12 $(나) 임의의 실수 $x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_{e^{-x}}^{e^x} \dfrac{f(t)}{t} dt = 0$ 이 성립한다. $\displaystyle \int_1^{e^4} \dfrac{f(x)}{x} dx$ 의 값은? ① $80$ ② $82$ ③ $84$ ④ $86$ ⑤ $88$ 정답 $80$

곡선 \(y=6x^2+1\) 과 \(x\) 축 및 두 직선 \(x=1-h,\; x=1+h\;(h>0)\) 로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S(h)\) 라 할 때, \(\lim \limits_{h \to +0} \dfrac{S(h)}{h}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(14\)

다항함수 \(f(x)\) 에 대하여 \[\displaystyle \int_{0}^{x} f(t) dt= x^3 -2x^2 -2x \int_{0}^{1} f(t) dt\] 일 때, \(f(0)=a\) 라 하자. \(60a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(40\)