수악중독

함수 \(f(x)\) 는 다음 두 조건을 만족한다. (가) \(-2 \leq x \leq 2\) 일 때, \(f(x)=x^3-4x\) (나) 임의의 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(x)=f(x+4)\) 정적분 \(\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) dx\) 와 같은 것은? ① \(\displaystyle \int_{2004}^{2005} f(x) dx\) ② \(-\displaystyle \int_{2004}^{2005} f(x) dx\) ③ \(\displaystyle \int_{2005}^{2006} f(x) dx\) ④ \(-\displaystyle \int_{2005}^{2006} f(x) dx\) ⑤ \(\displaystyle \int_{2006}^{2007} f(x) ..

다항함수 \(f(x)\) 에 대하여 \[\displaystyle \int_{0}^{x} f(t) dt= x^3 -2x^2 -2x \int_{0}^{1} f(t) dt\] 일 때, \(f(0)=a\) 라 하자. \(60a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(40\)

중심이 \(\rm O\) 인 원에 내접하는 삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 선분 \(\rm AB,\;BC,\;CD\) 의 중점을 각각 \(\rm P,\;Q,\;R\) 이라 하고 삼각형 \(\rm ABC\) 의 무게 중심을 \(\rm G\) 라 하자. 원을 포함하는 평면 위의 한 점 \(\rm H\) 가 \[\overrightarrow{\rm AH}\cdot \overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm BH}\cdot \overrightarrow{\rm CA}=0\] 을 만족시킬 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(\overrightarrow{\rm OQ} \cdot \overrightarrow{\rm PR}=0\) ㄴ. \( \overright..

반지름의 길이가 \(2\) 인 구의 중심 \(\rm O\) 를 지나는 평면을 \(\alpha\) 라 하고, 평면 \(\alpha\) 와 이루는 각이 \(45^{\rm o}\) 인 평면을 \(\beta\) 라 하자. 평면 \(\alpha\) 와 구가 만나서 생기는 원을 \(C_1\), 평면 \(\beta\) 와 구가 만나서 생기는 원을 \(C_2\) 라 하자. 원 \(C_2\) 의 중심 \(\rm A\) 와 평면 \(\alpha\) 사이의 거리가 \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\) 일 때, 그림과 같이 다음 조건을 만족하도록 원 \(C_1\) 위에 점 \(\rm P\), 원 \(C_2\) 위에 두 점 \(\rm Q, \;R\) 를 잡는다. (가) \(\angle \rm QAR=90^{\rm o}\)..

\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC}=\overline{\rm CD}=2\) 이고 \(\overline{\rm AD}=4\) 인 등변사다리꼴 \(\rm ABCD\) 가 있다. 점 \(\rm A\) 는 평면 \(\alpha\) 위의 점이고, 점 \(\rm C\) 에서 평면 \(\alpha\) 에 이르는 거리는 \(3\) 이다. 직선 \(\rm BD\) 와 평면 \(\alpha\) 가 이루는 예각의 크기가 \(30^{\rm o}\) 일 때, 점 \(\rm D\) 에서 평면 \(\alpha\) 에 이르는 거리는 \(a+b\sqrt{3}\) 이다. \(9(a+b)\) 의 값을 구하시오. (단, \(a,\;b\) 는 유리수이다.) 정답 \(24\)

두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 의 교선 위에 두 점 \(\rm A, \;B\) 가 있고 \(\overline{\rm AB}=13\) 이다. 평면 \(\alpha\) 위의 점 \(\rm C\) 에 대하여 삼각형 \(\rm ABC\) 는 \(\angle \rm C=90^{\rm o}\) 인 직각삼각형이고, 점 \(\rm C\) 의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영을 \(\rm C'\) 이라 할 때, \(\overline{\rm AC'}=2\sqrt{35},\; \overline{\rm BC'}=\sqrt{21}\) 이다. 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 가 이루는 각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\sin \theta=\dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+..

수열 \(\dfrac{1}{2}, \; \dfrac{1}{3},\; \dfrac{1}{4}, \; \cdots\) 의 항 중에서 유한소수로 나타낼 수 있는 분수를 큰 수부터 차례대로 \(a_1,\; a_2,\; a_3,\; \cdots\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{2}\) ② \(1\) ③ \(\dfrac{3}{2}\) ④ \(2\) ⑤ \(\dfrac{5}{2}\) 정답 ⑤

정규분포 \({\rm N} \left ( m, \; \sigma^2 \right )\) 을 따르는 확률변수 \(X\) 의 구간별 확률은 오른쪽 표와 같다. 어떤 모집단의 분포가 정규분포 \({\rm N} \left ( m,\; 10^2 \right )\) 을 따르고 이 정규분포의 확률밀도함수 \(f(x)\) 는 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(100-x)=f(100+x)\) 를 만족시킨다. 이 모집단에서 크기가 \(100\) 인 표본을 임의추출할 때, 표본평균과 모평균의 차가 모평균의 \(2\%\) 이하로 나타날 확률을 오른쪽 표를 이용하여 구한 것은? ① \(0.6826\) ② \(0.8664\) ③ \(0.9104\) ④ \(0.9544\) ⑤ \(0.9876\) 정답 ④

모표준편차가 \(3\) 으로 알려진 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 \(10\) 인 표본을 임의 추출하여 모평균 \(m\) 에 대한 신뢰도 \(95 \%\) 의 신뢰구간을 구하는 추정을 반복한다. \(n\) 번째 추정에서 얻은 신뢰구간을 \(I_n\) 이라 할 때, 수열 \(\{a_n\}\) 을 다음과 같이 정의하자. \[{a_n} = \left\{ {\begin{array}{ll}2&{\left( {m \in {I_n}} \right)}\\0&{\left( {m \notin {I_n}} \right)}\end{array}} \right.\] \(S_n=\sum \limits_{k=1}^{n}a_k\) 라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{100S_n}{n}\..

평면 \(\alpha\) 위에 중심이 \(\rm O\) 이고 반지름의 길이가 \(2\) 인 원 \(C\) 가 있다. 직선 \(l\) 은 평면 \(\alpha\) 와 \(45^{\rm o}\) 의 각을 이루고, 직선 \(l\) 과 점 \(\rm O\) 사이의 거리는 \(2\) 이다. 점 \(\rm O\) 를 지나고 \(\alpha\) 에 수직인 직선이 \(l\)과 만날 때, \(l\) 을 포함하고 \(C\)와 한 점에서 만나는 두 평면이 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 하자. \(\cos ^2 \theta = \dfrac{q}{p}\) 일 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p, \;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(10\)