수악중독

닫힌구간 $[0,\;1]$ 에서 함숫값이 $0$ 보다 크거나 같고 $1$ 보다 작거나 같은 모든 연속 함수들의 집합을 $C[0,\;1]$ 이라 한다. 즉, $C[0,\;1]=\{f\; \vert \; f는 \; [0,\;1]\; 에서 \; 연속이고\; 0\le f(x) \le 1 \}$ 일 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. 연산 $*$ 를 $(f*g)(x)=f \left (g(x) \right )$ 로 정의할 때, $C[0,\;1]$ 은 연산 $*$ 에 대하여 닫혀 있다. ㄴ. $f(x) \in C[0,\;1]$ 이면 $f(x)=x$ 는 닫힌구간 $[0,\;1]$ 에서 반드시 해를 가진다. ㄷ. 치역이 \(\left \{ y \; \vert ..

[그림 1]과 같이 한 쪽 끝에 고리가 있는 실이 있다. 실의 한 쪽 끝을 $\rm A$, 고리가 있는 나머지 한 쪽을 $\rm B$ 라 하자. 이 때, 이 실의 길이는 충분히 길고 일정하다. [그림 2]와 같이 액자의 양 끝에 고정되어 있는 고리 $\rm C, \; D$ 로 이 실의 한 쪽 끝 $\rm A$ 를 차례로 통과시킨 후 고리 $\rm B$ 를 통과시킨다. 이 때, 실의 끝 $\rm A$ 를 잡아서 들면 선분 $\rm CD$ 의 중점 $\rm E$ 에 대하여 선분 $\rm AB$ 의 연장선은 $\rm E$ 를 지나고 선분 $\rm CD$ 를 수직이등분한다. $\rm A$ 와 $\rm E$ 사이의 거리가 최대인 상태에서 액자가 평형을 유지하도록 하고..

함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \ne 0$ 이고 미분가능하다. 미분가능한 두 함수 $F(x) , \; G(x)$ 가 $F'(x) = f(x)$ $F'(x)G'(x)=1$ $F(x)G(x)=-1$ 을 만족시킬 때, 에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. $f(x)G(x) = - \dfrac{1}{f(x)} F(x)$ ㄴ. $f(x)=f'(x)$ ㄷ. $F(x) = f'(x)$ ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ 정답 ④

함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{ - 1} & {(x < 1)} \cr{ - x + 2} & {(x \ge 1)}} } \right.\)에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=\int_{ - 1}^x {\left( {t - 1} \right)f\left( t \right)dt}$ 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $g(x)$는 구간 $(1,\;2)$에서 증가한다. ㄴ. $g(x)$는 $x=1$에서 미분가능하다. ㄷ. 방정식 $g(x)=k$가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 $k$가 존재한다. ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

두 함수 $f(x),\; g(x)$ 가 두 조건 i) $x+f(x)=g(x)\{ x-f(x) \}$ ii) $\lim \limits _{x \to 0} g(x) =3$ 을 만족시킬 때, 에서 극한값이 존재하는 것을 모두 고른 것은? ㄱ. $\lim \limits _{x \to 0} {\Large \frac{f(x)}{x}}$ ㄴ. $\lim \limits _{x \to 0} f(x)$ ㄷ. $\lim \limits _{ x \to 0} {\Large \frac{x^2 +f(x)}{x^2 - f(x)}}$ ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

$\lim \limits _{x \to 0} x \left [ {\Large \frac{1}{x}} \right ]$ 을 계산하면? (단, $[x]$ 는 $x$ 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ① $-2$ ② $-1$ ③ $0$ ④ $1$ ⑤ $2$ 정답 ④

함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 그림과 같을 때, $\int_{ - 2}^2 {f\left( {{x^2} - 1} \right)dx}$의 값은? ① $\displaystyle \frac{12-7\sqrt{2}}{3}$ ② $\displaystyle \frac{12-8\sqrt{2}}{3}$ ③ $\displaystyle \frac{14-6\sqrt{2}}{3}$ ④ $\displaystyle \frac{14-7\sqrt{2}}{3}$ ⑤ $\displaystyle \frac{14-8\sqrt{2}}{3}$ 정답 ②

오른쪽 그림과 같이 길이가 4인 선분 $\rm AB$를 지름으로 하는 반원에 내접하는 원이 있다. 이 원의 중심 $\rm P$ 가 그리는 곡선과 선분 $\rm AB$ 로 이루어진 어두운 부분의 넓이는? ① $\displaystyle \frac{4}{3}$ ② $\displaystyle \frac{5}{2}$ ③ $\displaystyle \frac{8}{3}$ ④ $\displaystyle \frac{11}{4}$ ⑤ $\displaystyle \frac{14}{5}$ 정답 ③

$x>0$ 에서 연속인 함수 $f(x)$가 $f(1)=2$이고, 모든 양수 $a,\;b$에 대하여 $\displaystyle \int _a^{ab}{f\left( x \right)dx = \displaystyle \int _1^b {f\left( x \right)dx} }$를 만족할 때, $f \left ({\dfrac{1}{2}} \right )$의 값은? ① $\dfrac{1}{4}$ ② $\dfrac{1}{2}$ ③ $1$ ④ $2$ ⑤ $4$ 정답 ⑤