수악중독

$2$ 개의 불량품을 포함한 $n$ 개의 제품 중에서 비복원추출하여 임의로 $1$개씩을 뽑아 검사할 때, 제$X$ 번째에 두 번째 불량품이 나왔다. $X$ 의 평균을 ${\rm E}(X)$ 라고 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \left \{ \dfrac{18}{n} {\rm E}(X) \right \}$ 의 값을 구하시오. 정답 $12$

두 개의 주사위를 $200$ 회 던질 때, 매회 두 눈의 순의 곱이 $a$ 이하로 나오면 $2$ 점씩 받기로 하였다. 받는 점수의 총점의 평균과 분산을 각각 $m, \; \sigma ^2$ 이라 할 때, $\sigma ^2 = \dfrac{14}{9}m$ 이 성립하기 위한 상수 $a$ 의 값은? ① $4$ ② $6$ ③ $8$ ④ $10$ ⑤ $15$ 정답 ①

확률변수 $X$ 가 정규분포 ${\rm N}(m, \;1)$ 을 따를 때, ${\rm P}(X \leq 0)=f(m)$ 이라 하자. 다음 중 $m$ 에 관한 함수 $y=f(m)$ 의 그래프의 개형으로 적당한 것은? 정답 ③

삼차함수 $f(x)=x^3+3x^2-9x$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{f\left( x \right)}\\{m - f\left( x \right)}\\{n + f\left( x \right)}\end{array}} \right.\begin{array}{ll}{\;\;\;\left( {x < a} \right)}\\{\;\;\;\left( {a \le x < b} \right)}\\{\;\;\;\left( {x \ge b} \right)}\end{array}$ 로 정의한다. 함수 $g(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 미분 가능 하도록 상수 $a, \; b$ 와 $m, \;n$ 의 값을..

함수 $f(x)=x^3+9x+2$ 에 대하여 $\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 의 값을 구하시오. 정답 $12$

$x$ 가 양수일 때, $x$ 보다 작은 자연수 중에서 소수의 개수를 $f(x)$ 라 하고, 함수 $g(x)$ 를 $g \left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{f\left( x \right)}&{\left( {x > 2f\left( x \right)} \right)}\\{\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}}&{\left( {x \le 2f\left( x \right)} \right)}\end{array}}\right.$ 라고 하자. 예를 들어, $f \left ( \dfrac{7}{2} \right ) =2$ 이고, $\dfrac{7}{2} < 2 f \left ( \dfrac{7}{2} \right )$ 이므로 \(..

다항함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(3)$ 의 값을 구하시오. (가) $\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^3}=0$ (나) $\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}=1$ (다) 방정식 $f(x)=2x$ 의 한 근이 $2$ 이다. 정답 $14$

\(-2

함수 $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll} {a\left( {3x - {x^3}} \right)}&{\left( {x < 0} \right)}\\ {{x^3} - ax}&{\left( {x \ge 0} \right)} \end{array}} \right.$ 의 극댓값이 $5$ 일 때, $f(2)$ 의 값은? (단, $a$ 는 상수이다.) ① $5$ ② $7$ ③ $9$ ④ $11$ ⑤ $13$ 정답 ④

그림과 같이 한 변의 길이가 $20$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 에서 점 $\rm P$ 는 $\rm A$ 에서 출발하여 변 $\rm AB$ 위를 매초 $2$ 씩 움직여 $\rm B$ 까지, 점 $\rm Q$ 는 $\rm B$ 에서 $\rm P$ 와 동시에 출발하여 변 $\rm BC$ 위를 매초 $3$ 씩 움직여 $\rm C$ 까지 간다. 이때, 사각형 $\rm DPBQ$ 의 넓이가 정사각형 $\rm ABCD$ 의 넓이의 $\dfrac{11}{20}$ 이 되는 순간의 삼각형 $\rm PBQ$ 의 넓이의 시간(초)에 대한 순간변화율을 구하시오. 정답 $18$