수악중독

곡선 $y=6x^2+1$ 과 $x$ 축 및 두 직선 $x=1-h,\; x=1+h\;(h>0)$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S(h)$ 라 할 때, $\lim \limits_{h \to +0} \dfrac{S(h)}{h}$ 의 값을 구하시오. 정답 $14$

다항함수 $f(x)$ 가 $\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{\displaystyle \int_{1}^{x} f(t) dt-f(x)}{x^2-1}=2$ 를 만족할 때, $f'(1)$ 의 값은? ① $-4$ ② $-3$ ③ $-2$ ④ $-1$ ⑤ $0$ 정답 ①

그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 $\rm A(2,\;0), \; B(0,\;3)$ 을 지나는 직선과 곡선 $y=ax^2 \;(a>0)$ 및 $y$ 축으로 둘러싸인 부분 중에서 제$1$사분면에 있는 부분의 넓이를 $S_1$ 이라 하자. 또, 직선 $AB$와 곡선 $y=ax^2$ 및 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_2$ 라 하자. $S_1 :S_2=13:3$ 일 때, 상수 $a$ 의 값은? ① $\dfrac{2}{9}$ ② $\dfrac{1}{3}$ ③ $\dfrac{4}{9}$ ④ $\dfrac{5}{9}$ ⑤ $\dfrac{2}{3}$ 정답 ②

그림과 같이 두 점 $\rm P, \;Q$ 는 각각 $(2, \;0), \;(0, \;-1)$ 에서 동시에 출발하여 점 $\rm P$ 는 매초 $3$ 의 속도로 $x$ 축의 양의 방향으로 움직이고, 점 $\rm Q$ 는 매초 $1$ 의 속도로 $y$ 축의 양의 방향으로 움직이고 있다. 출발할 지 $t$ 초 후의 위치를 각각 $\rm P',\;Q'$ 라 하고 $\triangle \rm OP'Q'$ 의 넓이는 $S(t)$ 라 하자. $\displaystyle \int_{0}^{2} S(t) dt = \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p^2+q^2$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \;q$ 는 소로소인 자연수이다.) 정답 $29$

두 다항함수 $f(x), \;g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 모든 실수 $x$ 에 대하여 (가) $f(x)g(x)=x^3+3x^2-x-3$ (나) $f'(x)=1$ (다) $g(x)=2 \displaystyle \int_{1}^{x} f(t)\; dt$ $\displaystyle \int_{0}^{3} 3g(x) \;dx$ 의 값을 구하시오. 정답 $27$

다음 세 조건을 만족시키는 함수 $f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \int _{0}^{4} f(x) dx$ 이 최솟값을 가질 때, $k$ 의 값은? (가) 임의의 실수 $x$ 에 대하여 $f(2+x)=f(2-x)$ (나) $\displaystyle \int_{-2}^{2} f(x) dx=2k+4$ (다) $\displaystyle \int_{0}^{6} f(x) dx=k^2$ ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 정답 ①

$\overline{\rm AD}=1,\; \overline{\rm AB}=\sqrt{2},\; \overline{\rm BC}=3$ 인 등변사다리꼴 $\rm ABCD$ 에서 변 $\rm AB$ 를 $n$ 등분한 점을 각각 $\rm P_1, \;P_2 ,\; P_3, \; \cdots,\; P_{\it n \rm -1}$ 이라 하고, 각 점에서 변 $\rm BC$ 에 평행한 직선을 그어 변 $\rm CD$ 와 만나는 점을 각각 $\rm Q_1, \;Q_2,\; \cdots ,\; Q_{\it n \rm -1}$ 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \left ( \overline{\rm P_1Q_1}^3 +\overline..

모든 실수 $x$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는 $f(x)=f(x+2)$ 를 를 만족시키고, $-1 \leq x \leq 1$ 에서 다음과 같이 정의된다. $f(x)=30x^2+15$ 이때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} f \left ( 10+ \dfrac{2k}{n} \right )$ 의 값을 구하시오. 정답 $25$

$\lim \limits_{n \to \infty} \left \{ \dfrac{(n+1)^4}{n^5}+\dfrac{(n+2)^4}{n^5}+\dfrac{(n+3)^4}{n^5}+\cdots +\dfrac{(n+n)^4}{n^5} \right \} = \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p,\;q$ 는 서로소인 자연수) 정답 $36$

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\rm P, \;Q$ 의 시각 $t \;(0 \leq t \leq 8)$ 에서의 속도가 각각 $2t^2-8t,\;\; t^3-10t^2+24t$ 이다. 두 점 $\rm P, \;Q$ 사이의 거리의 최댓값을 구하시오. 정답 $64$