\(x\) 가 양수일 때, \(x\) 보다 작은 자연수 중에서 소수의 개수를 \(f(x)\) 라 하고, 함수 \(g(x)\) 를 \[g \left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{f\left( x \right)}&{\left( {x > 2f\left( x \right)} \right)}\\{\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}}&{\left( {x \le 2f\left( x \right)} \right)}\end{array}}\right.\] 라고 하자. 예를 들어, \(f \left ( \dfrac{7}{2} \right ) =2\) 이고, \(\dfrac{7}{2} < 2 f \left ( \dfrac{7}{2} \right )\) 이므로 \(g \left ( \dfrac{7}{2} \right ) = \dfrac{1}{2}\) 이다. \(\lim \limits_{x \to 8+0} g(x) = \alpha , \;\; \lim \limits_{x \to 8-0} g(x) = \beta\) 라고 할 때, \(\dfrac{\alpha}{\beta}\) 의 값을 구하시오.
