수악중독

실수 $t$ 에 대하여 열린구간 $(t-1,\;t+1)$ 에서 함수 $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}1&{\left( {x \ne 0} \right)}\\2&{\left( {x = 0} \right)}\end{array}} \right.$ 의 불연속인 점의 개수를 $g(t)$ 라 하자. 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $g(0)=1$ ㄴ. $\lim \limits_{x \to 1-0} g(x) + \lim \limits_{x \to -1+0} g(x)=2$ ㄷ. 함수 $\dfrac{g(x)}{f(x)}$ 는 $x=0$ 에서 연속이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②

집합 $X=\{1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;7,\;8,\;9,\;10\}$ 일 때, 함수 $f\; :\; X \to X$ 중 다음 조건을 만족시키는 것의 개수는? (가) 모든 $x \in X$ 에 대하여 $f\{f(x)\}=f(x)$ 이다. (나) $\{2,\;3,\;5,\;6,\;7,\;10\} \subset \{ f(x) \;|\; x \in X\}$ (다) 집합 $X$ 의 임의의 두 원소 $a,\;b$ 에 대하여 \(a

세 수 $2, \;3,\;5$ 에서 중복을 허락하여 다섯 개의 수를 선택하고, 이들 선택된 다섯 개의 수를 곱하여 만들어지는 수 중에서 $9$ 의 배수가 아닌 것의 개수를 구하시오. 정답 $11$

$2 \sum \limits_{k=1}^{5} x_k + 3 \sum \limits_{k=6}^{10} =8$ 을 만족시키는 서로 다른 순서쌍 $x_1 ,\; x_2,\; x_3 ,\; \cdots ,\; x_{10}$ 의 개수를 구하여라. (단, $x_i$ 는 음이 아닌 정수이고 $i=1,\;2,\;3,\; \cdots ,\;10$ 이다.) 정답 $145$

$2x+y+z=2n\; (n \geq 3)$ 을 만족하는 자연수 순서쌍 $(x, \;y,\;z)$ 의 개수를 $a_n$ 이라고 하자. $\sum \limits_{n=3}^{11} a_n$ 의 값을 구하시오. 정답 $384$

구분이 안되는 배 $4$ 개와 구분이 안되는 사과 $3$ 개를 $3$ 명의 학생에게 나누어 주려고 한다. 과일을 못 받는 학생이 발생하지 않도록 과일을 세 학생에게 나누어 주는 방법의 수를 구하시오. 정답 $93$

$1$ 부터 $1000$ 까지의 자연수 중 $409$ 와 같이 각 자리의 숫자의 합이 $13$ 이 되는 자연수는 몇 개인지 구하시오. 정답 $75$

한 개의 주사위를 $5$ 번 던질 때, $k$ 번째 나타나는 눈의 수를 $a_k$ 라 하자. $a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq a_4 \leq a_5$ 를 만족시키는 경우의 수를 $p$, $a_1 \leq a_2 < a_3 \leq a_3 \leq a_4 \leq a_5$ 를 만족시키는 경우의 수를 $q$ 라 할 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $k=1, \;2,\;3,\;4,\;5)$ 정답 $378$

다음은 연속함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 이 그래프 위의 서로 다른 두 점 ${\rm P}(a,\;f(a)), \;\; {\rm Q}(b, \;f(b))$ 를 나타낸 것이다. 함수 $F(x)$ 가 $F'(x)=f(x)$ 를 만족시킬 때, 다음 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. 함수 $F(x)$ 는 구간 $[a,\;b]$ 에서 증가한다. ㄴ. $\dfrac{F(b)-F(a)}{b-a}$ 는 직선 $\rm PQ$ 의 기울기와 같다. ㄷ. $\displaystyle \int_{a}^{b} {f(x)-f(b)} dx \leq \dfrac{(b-a)\{ f(a)-f(b) \}}{2}$ ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

연속함수 $y=f(x)$ 는 구간 $[a,\;t]$ 에서 $f(x)>0$ 이다. 곡선 $y=f(x)$ 와 $x$ 축 및 두 직선 $x=a,\; x=t$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S(t)$ 라 할 때, $\lim \limits_{t \to a} \dfrac{S(t)}{t-a}$ 의 값은? (단, \(a