수악중독

함수 $y=\dfrac{\sqrt{x}}{10}$ 의 그래프와 함수 $y=\tan x$ 의 그래프가 만나는 모든 점의 $x$ 좌표를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$ 번째 수를 $a_n$ 이라 하자. $$ \dfrac{1}{\pi ^2} \times \lim \limits_{n \to \infty}a_n ^3 \tan ^2 (a_{n+1}-a_n)$$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $25$

그림과 같이 길이가 $3$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 를 삼등분하는 점 중 $\mathrm{A}$ 와 가까운 점을 $\mathrm{C}$, $\mathrm{B}$ 와 가까운 점을 $\mathrm{D}$ 라 하고, 선분 $\mathrm{BC}$ 를 지름으로 하는 원을 $O$ 라 하자. 원 $O$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 를 $\angle \mathrm{BAP}=\theta \; \left (0  더보기정답 $40$

함수 $f(x)=x^3+x+1$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 하자. 매개변수 $t$ 로 나타내어진 곡선 $$x=g(t)+t, \quad y=g(t)-t$$ 에서 $t=3$ 일 때, $\dfrac{dy}{dx}$ 의 값은? ① $-\dfrac{1}{5}$          ② $-\dfrac{3}{10}$          ③ $-\dfrac{2}{5}$          ④ $-\dfrac{1}{2}$          ⑤ $-\dfrac{3}{5}$ 더보기정답 ⑤

곡선 $y=e^{2x}-1$ 위의 점 $\mathrm{P}\left (t, \; e^{2t}-1 \right ) \; (t>0)$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{OQ}}$ 를 만족시키는 $x$ 축 위의 점 $\mathrm{Q}$ 의 $x$ 좌표를 $f(t)$ 라 할 때, $\lim \limits_{t \to 0+} \dfrac{f(t)}{t}$ 의 값은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $1$          ② $\dfrac{3}{2}$          ③ $2$          ④ $\dfrac{5}{2}$          ⑤ $3$  더보기정답 ④

두 상수 $a \; (a>0)$, $b$ 에 대하여 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 를 $$f(x)=a\sin x -\cos x, \quad g(x)=e^{2x-b}-1$$ 이라 하자. 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\tan b$ 의 값은? (가) $f(k)=g(k)=0$ 을 만족시키는 실수 $k$ 가 열린구간 $\left ( -\dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{\pi}{2} \right )$ 에 존재한다.(나) 열린구간 $\left ( - \dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{\pi}{2} \right )$ 에서 방정식 $\{f(x)g(x)\}'=2f(x)$ 의 모든 해의 합은 $\dfrac{\pi}{4}$ 이다. ① $\dfrac{5}..

함수 $f(x)=\dfrac{1}{3}x^3 -2x^2-5x+1$ 이 닫힌구간 $[a, \; b]$ 에서 감소할 때, $b-a$ 의 최댓값은? (단, $a, \; b$ 는 $a

두 정수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는 $$f(x)=\begin{cases} x^2 -2ax+\dfrac{a^2}{4}+b^2 & (x \le 0) \\ x^3-3x^2+5 & (x>0) \end{cases}$$ 이다. 실수 $t$ 에 대하여 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 직선 $y=t$ 가 만나는 점의 개수를 $g(t)$ 라 하자. 함수 $g(t)$ 가 $t=k$ 에서 불연속인 실수 $k$ 의 개수가 $2$ 가 되도록 하는 두 정수 $a, \; b$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b )$ 의 개수는? ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ③

매개변수 $t \; (t>0)$ 으로 나타내어진 곡선 $$x= \ln \left (t^3 +1 \right ), \quad y=\sin \pi t$$ 에서 $t=1$ 일 때, $\dfrac{dy}{dx}$ 의 값은? ① $-\dfrac{1}{3}\pi$ ② $-\dfrac{2}{3}\pi$ ③ $-\pi$ ④ $-\dfrac{4}{3}\pi$ ⑤ $-\dfrac{5}{3}\pi$ 더보기 정답 ②

실수 $t$ 에 대하여 원점을 지나고 곡선 $y=\dfrac{1}{e^x}+e^t$ 에 접하는 직선의 기울기를 $f(t)$ 라 하자. $f(a)=-e\sqrt{e}$ 를 만족시키는 상수 $a$ 에 대하여 $f'(a)$ 의 값은? ① $-\dfrac{1}{3}e\sqrt{e}$ ② $-\dfrac{1}{2}e\sqrt{e}$ ③ $-\dfrac{2}{3}e\sqrt{e}$ ④ $-\dfrac{5}{6}e\sqrt{e}$ ⑤ $-e\sqrt{e}$ 더보기 정답 ①

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 의 도함수 $f'(x)$ 가 $$f'(x)=| \sin x| \cos x$$ 이다. 양수 $a$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, \; f(a))$ 에서의 접선의 방정식을 $y=g(x)$ 라 하자. 함수 $$h(x)=\displaystyle \int_0^x \{f(t)-g(t)\}dt$$ 가 $x=a$ 에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 양수 $a$ 를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$ 번째 수를 $a_n$ 이라 하자. $\dfrac{100}{\pi} \times (a_6 - a_2)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $125$