수악중독

그림과 같이 두 점 $\rm F(c, \; 0), \; F'(-c, \; 0)$ 을 초점으로 하는 타원이 있다. 타원 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 $\rm P$ 에 대하여 직선 $\rm PF$ 가 타원과 만나는 점 중 점 $\rm P$ 가 아닌 점을 $\rm Q$ 라 하자. $\overline{\rm OQ}=\overline{\rm OF}$, $\overline{\rm FQ}:\overline{\rm F'Q}=1:4$이고 삼각형 $\rm PF'Q$의 내접원의 반지름의 길이가 $2$ 일 때, 양수 $c$ 의 값은? (단, $\rm O$ 는 원점이다.) ① $\dfrac{17}{3}$ ② $\dfrac{7\sqrt{17}}{5}$ ③ $\dfrac{3\sqrt{17}}{2}$ ④ $\dfrac{51}{..

초점이 $\rm F$ 인 포물선 $y^2=4px\; (p>0)$ 에 대하여 이 포물선 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 $\rm P$ 에서의 접선이 직선 $x=-p$ 와 만나는 점을 $\rm Q$ 라 하고, 점 $\rm Q$ 를 지나고 직선 $x=-p$ 에 수직인 직선이 포물선과 만나는 점을 $\rm R$ 라 하자. $\angle \rm PRQ=\dfrac{\pi}{2}$ 일 때, 사각형 $\rm PQRF$ 의 둘레의 길이가 $140$ 이 되도록 하는 상수 $p$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $21$

그림과 같이 두 점 $\rm F(c, \; 0), \; F'(-c, \; 0)\; (c>0)$을 초점으로 하는 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{10}-\dfrac{y^2}{a^2}=1$이 있다. 쌍곡선 위의 점 중 제2사분면에 있는 점 $\rm P$에 대하여 삼각형 $\rm F'FP$는 넓이가 $15$이고 $\angle \rm F'PF=\dfrac{\pi}{2}$인 직각삼각형이다. 직선 $\rm PF'$과 평행하고 쌍곡선에 접하는 두 직선을 각각 $l_1, \; l_2$라 하자. 두 직선 $l_1, \; l_2$가 $x$축과 만나는 점을 각각 $\rm Q_1, \; Q_2$라 할 때, $\overline{\rm Q_1Q_2}=\dfrac{q}{p}\sqrt{3}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, ..

그림과 같이 타원 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$의 두 초점 $\rm F, \; F'$에 대하여 선분 $\rm FF'$을 지름으로 하는 원을 $C$라 하자. 원 $C$가 타원과 제1사분면에서 만나는 점을 $\rm P$라 하고, 원 $C$가 $y$축과 만나는 점 중 $y$좌표가 양수인 점을 $\rm Q$라 하자. 두 직선 $\rm F'P, \; QF$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 하자. $\cos \theta=\dfrac{3}{5}$일 때, $\dfrac{b^2}{a^2}$의 값은? (단, $a, \; b$는 $a>b>0$인 상수이고, 점 $\rm F$의 $x$좌표는 양수이다.) ① $\dfrac{11}{64}$ ② $\dfrac{3}{16}$ ③ $\dfr..

두 점 $\rm F, \; F'$을 초점으로 하는 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{32}=1$ 위의 점 $\rm A$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overline{\rm AF}

그림과 같이 꼭짓점이 $\rm A_1$이고 초점이 $\rm F_1$인 포물선 $P_1$과 꼭짓점이 $\rm A_2$이고 초점이 $\rm F_2$인 포물선 $P_2$가 있다. 두 포물선의 준선은 모두 직선 $\rm F_1F_2$와 평행하고, 두 선분 $\rm A_1A_2, \; F_1F_2$의 중점은 서로 일치한다. 두 포물선 $P_1, \; P_2$가 서로 다른 두 점에서 만날 때 두 점 중에서 점 $\rm A_2$에 가까운 점을 $\rm B$라 하자. 포물선 $P_1$이 선분 $\rm F_1F_2$와 만나는 점을 $\rm C$라 할 때, 두 점 $\rm B, \; C$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overline{\rm A_1C}=5\sqrt{5}$ (나) $\overline{\rm F_1B}..

두 양수 $a, \; p$ 에 대하여 포물선 $ (y-a)^2=4px$ 의 초점을 $\rm F_1$ 이라 하고, 포물선 $y^2=-4x$ 의 초점을 $\rm F_2$ 라 하자. 선분 $\rm F_1F_2$ 가 두 포물선과 만나는 점을 각각 $\rm P, \; Q$ 라 할 때, $\overline{\rm F_1F_2}=3, \; \overline{\rm PQ}=1$ 이다. $a^2 + p^2$ 의 값은? ① $6$ ② $\dfrac{25}{4}$ ③ $\dfrac{13}{2}$ ④ $\dfrac{27}{4}$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ⑤

좌표평면에서 $\overline{\rm OA}=\sqrt{2}, \; \overline{\rm OB}=2\sqrt{2}$ 이고 $\cos ( \angle {\rm AOB})=\dfrac{1}{4}$ 인 평행사변형 $\rm OACB$ 에 대하여 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overrightarrow{\rm OP} = s \overrightarrow{\rm OA} + t \overrightarrow{\rm OB} \quad (0 \le s \le 1, \; 0 \le t \le 1)$ (나) $\overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm OB} + \overrightarrow{\rm BP} \cdot \overrightarrow{\rm..

좌표공간에 중심이 $\rm C \left (2, \; \sqrt{5}, \; 5 \right )$ 이고 점 $\rm P(0, \; 0, \; 1)$ 을 지나는 구 $$S \; : \; (x-2)^2+ \left (y-\sqrt{5} \right )^2 +(z-5)^2=25$$ 가 있다. 구 $S$ 가 평면 $\rm OPC$ 와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점 $\rm Q$, 구 $S$ 위를 움직이는 점 $\rm R$ 에 대하여 두 점 $\rm Q, \; R$ 의 $xy$ 평면 위로의 정사영을 각각 $\rm Q_1, \; R_1$ 이라 하자. 삼각형 $\rm OQ_1R_1$ 의 넓이가 최대가 되도록 하는 두 점 $\rm Q, \; R$ 에 대하여 삼각형 $\rm OQ_1R_1$ 의 평면 $\rm PQR..

삼각형 $\rm ABC$ 와 삼각형 $\rm ABC$ 의 내부의 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overrightarrow{\rm PA} \cdot \overrightarrow{\rm PC} = 0, \quad \dfrac{\left | \overrightarrow{\rm PA}\right |}{\left | \overrightarrow{\rm PC} \right |} = 3$ (나) $\overrightarrow{\rm PB} \cdot \overrightarrow{\rm PC} = - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left | \overrightarrow{\rm PB} \right | \left | \overrightarrow{\rm PC} \right | = -2 \..