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목록2024/05/10 (28)
수악중독
수열 $\{a_n\}$ 은 공비가 $0$ 이 아닌 등비수열이고, 수열 $\{b_n\}$ 을 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$b_n = \begin{cases} a_n & \left ( \left |a_n \right | (가) $\sum \limits_{n=1}^\infty a_n = 4$(나) $\sum \limits_{n=1}^m \dfrac{a_n}{b_n}$ 의 값이 최소가 되도록 하는 자연수 $m$ 은 $p$ 이고, $\sum \limits_{n=1}^p b_n = 51$, $\sum \limits_{n=p+1}^\infty b_n =\dfrac{1}{64}$ 이다. $32 \times (a_3 + p)$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $138$
그림과 같이 길이가 $3$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 를 삼등분하는 점 중 $\mathrm{A}$ 와 가까운 점을 $\mathrm{C}$, $\mathrm{B}$ 와 가까운 점을 $\mathrm{D}$ 라 하고, 선분 $\mathrm{BC}$ 를 지름으로 하는 원을 $O$ 라 하자. 원 $O$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 를 $\angle \mathrm{BAP}=\theta \; \left (0 더보기정답 $40$
함수 $f(x)=x^3+x+1$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 하자. 매개변수 $t$ 로 나타내어진 곡선 $$x=g(t)+t, \quad y=g(t)-t$$ 에서 $t=3$ 일 때, $\dfrac{dy}{dx}$ 의 값은? ① $-\dfrac{1}{5}$ ② $-\dfrac{3}{10}$ ③ $-\dfrac{2}{5}$ ④ $-\dfrac{1}{2}$ ⑤ $-\dfrac{3}{5}$ 더보기정답 ⑤
열린구간 $(0, \; \infty)$ 에서 정의된 함수 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{x^{n+1}+\left (\dfrac{4}{x} \right )^n}{x^n+\left ( \dfrac{4}{x} \right )^{n+1}}$$ 이 있다. $x>0$ 일 때, 방정식 $f(x)=2x-3$ 의 모든 실근의 합은? ① $\dfrac{41}{7}$ ② $\dfrac{43}{7}$ ③ $\dfrac{45}{7}$ ④ $\dfrac{47}{7}$ ⑤ $7$ 더보기정답 ④
곡선 $y=e^{2x}-1$ 위의 점 $\mathrm{P}\left (t, \; e^{2t}-1 \right ) \; (t>0)$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{OQ}}$ 를 만족시키는 $x$ 축 위의 점 $\mathrm{Q}$ 의 $x$ 좌표를 $f(t)$ 라 할 때, $\lim \limits_{t \to 0+} \dfrac{f(t)}{t}$ 의 값은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $1$ ② $\dfrac{3}{2}$ ③ $2$ ④ $\dfrac{5}{2}$ ⑤ $3$ 더보기정답 ④
첫째항이 $1$ 이고 공차가 $d \; (d>0)$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\sum \limits_{n=1}^\infty \left ( \dfrac{n}{a_n} - \dfrac{n+1}{a_{n+1}} \right )= \dfrac{2}{3}$ 일 때, $d$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기정답 ③
그림과 같이 원판에 반지름의 길이가 $1$인 원이 그려져 있고, 원의 둘레를 $6$ 등분하는 $6$ 개의 점과 원의 중심이 표시되어 있다. 이 $7$ 개의 점에 $1$ 부터 $7$ 까지의 숫자가 하나씩 적힌 깃발 $7$ 개를 각각 한 개씩 놓으려고 할 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) 깃발이 놓여 있는 $7$ 개의 점 중 $3$ 개의 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형이 한 변의 길이가 $1$ 인 정삼각형일 때, 세 꼭짓점에 놓여 있는 깃발에 적힌 세 수의 합은 $12$ 이하이다. 더보기정답 $40$
다음 조건을 만족시키는 자연수 $a, \; b, \; c, \; d, \; e$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c, \; d, \; e)$ 의 개수를 구하시오. (가) $a+b+c+d+e=11$(나) $a+b$ 는 짝수이다.(다) $a, \; b, \; c, \; d, \; e$ 중에서 짝수의 개수는 $2$ 이상이다. 더보기정답 $75$
그림과 같이 $\mathrm{A}$ 열에 $3$ 개, $\mathrm{B}$ 열에 $4$ 개로 구성된 총 $7$ 개의 좌석이 있다. $1$ 학년 학생 $2$ 명, $2$ 학년 학생 $2$ 명, $3$ 학년 학생 $3$ 명 모두가 이 $7$ 개의 좌석 중 임의로 $1$ 개씩 선택하여 앉을 때, 다음 조건을 만족시키도록 앉을 확률은? (단, 한 좌석에는 한 명의 학생만 앉는다.) (가) $\mathrm{A}$ 열의 좌석에는 서로 다른 두 학년의 학생들이 앉되, 같은 학년의 학생끼리는 이웃하여 앉는다.(나) $\mathrm{B}$ 열의 좌석에는 같은 학년의 학생끼리 이웃하지 않도록 앉는다. ① $\dfrac{2}{15}$ ② $\dfrac{16}{105}$ ③ $\dfrac{..