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수악중독
그림과 같이 두 초점이 $\rm F, \; F'$ 인 쌍곡선 $x^2 - \dfrac{y^2}{16}=1$ 이 있다. 쌍곡선 위에 있고 제$1$사분면에 있는 점 $\rm P$ 에 대하여 점 $\rm F$ 에서 선분 $\rm PF'$ 에 내린 수선의 발을 $\rm Q$ 라 하고, $\rm \angle FQP$ 의 이등분선이 선분 $\rm PF$ 와 만나는 점을 $\rm R$ 이라 하자. $4 \overline{\rm PR} = 3 \overline{\rm RF}$ 일 때, 삼각형 $\rm PF'F$ 의 넓이를 구하시오. (단, 점 $\rm F$ 의 $x$ 좌표는 양수이고, $\rm \angle F'PF
한 변의 길이가 $4$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 를 한 면으로 하는 사면체 $\rm ABCD$ 의 꼭짓점 $\rm A$ 에서 평면 $\rm BCD$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 할 때, 점 $\rm H$ 는 삼각형 $\rm BCD$ 의 내부에 놓여 있다. 직선 $\rm DH$ 가 선분 $\rm BC$ 와 만나는 점을 $\rm E$ 라 할 때, 점 $\rm E$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\angle \rm AEH = \angle DAH$ (나) 점 $\rm E$ 는 선분 $\rm CD$ 를 지름으로 하는 원 위의 점이고 $\overline{\rm DE}=4$ 이다. 삼각형 $\rm AHD$ 의 평면 $\rm ABD$ 위로의 정사영의 넓이는 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p..
그림과 같이 두 점 ${\rm F}(c, \; 0), \; {\rm F'}(-c, \; 0) \; (c>0)$ 을 초점으로 하는 타원 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$ 위의 점 ${\rm P}(2, \; 3)$ 에서 타원에 접하는 직선을 $l$ 이라 하자. 점 $\rm F$ 를 지나고 $l$ 과 평행한 직선이 타원과 만나는 점 중 제2사분면 위에 있는 점을 $\rm Q$ 라 하자. 두 직선 $\rm F'Q$ 와 $l$ 이 만나는 점을 $\rm R$, $l$ 과 $x$ 축이 만나는 점을 $\rm S$ 라 할 때, 삼각형 $\rm SRF'$ 의 둘레의 길이는? ① $30$ ② $31$ ③ $32$ ④ $33$ ⑤ $34$ 더보기 정답 ①
그림과 같이 한 변의 길이가 $8$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 에 두 선분 $\rm AB, \; CD$ 를 각각 지름으로 하는 두 반원이 붙어 있는 모양의 종이가 있다. 반원의 호 $\rm AB$ 의 삼등분점 중 점 $\rm B$ 에 가까운 점을 $\rm P$ 라 하고, 반원의 호 $\rm CD$ 를 이등분하는 점을 $\rm Q$라 하자. 이 종이에서 두 선분 $\rm AB$ 와 $\rm CD$ 를 접는 선으로 하여 두 반원을 접어 올렸을 때, 두 점 $\rm P, \; Q$ 에서 평면 $\rm ABCD$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm G, \; H$ 라 하면 두 점 $\rm G, \; H$ 는 정사각형 $\rm ABCD$ 의 내분에 놓여 있고, $\overline{\rm PG} = \sqrt..
좌표평면에서 세 점 ${\rm A}(-3, \; 1)$, ${\rm B}(0, \; 2)$, ${\rm C}(1, \; 0)$ 에 대하여 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 $$\left | \overrightarrow{\rm AP} \right |= 1, \quad \left | \overrightarrow{\rm BQ} \right | = 2, \quad \overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm OC} \ge \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ 를 만족시킬 때, $\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AQ}$ 의 값이 최소가 되도록 하는 두 점 $\rm P, \; Q$ 를 각각 $\rm P_0, ..
그림과 같이 점 ${\rm F}(p, \; 0) \; (p>0)$ 을 지나고 기울기가 양수인 직선이 포물선 $y^2=4px$ 와 만나는 두 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하고, 점 $\rm F$ 를 중심으로 하고 점 $\rm B$ 를 지나는 원을 $C$ 라 하자. 원 $C$ 가 선분 $\rm AF$ 와 만나는 점을 $\rm P$ , $x$ 축과 만나는 점 중 $x$ 좌표가 음수인 점을 $\rm Q$ 라 할 때, 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overline{\rm AP}=\overline{\rm PF}$ (나) 점 $\rm Q$ 의 $x$ 좌표는 $-1$ 이다. 삼각형 $\rm AQB$ 의 넓이는? (단, 점 $\rm A$ 는 제1사분면 위의 점이다.) ..
그림과 같이 두 점 ${\rm F}(c, \; 0), \; {\rm F'}(-c, \; 0) \; (c>0)$ 을 초점으로 하는 타원이 있다. 선분 $\rm F'F$ 를 $3:1$ 로 내분하는 점을 $\rm A$, $3:1$ 로 외분하는 점을 $\rm B$ 라 하고, 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 원이 타원과 제1사분면에서 만나는 점을 $\rm C$ 라 하자. $$\overline{\rm AF}=\overline{\rm AC}, \; \; \overline{\rm OC}= 2\sqrt{6}$$ 일 때, 이 타원의 장축의 길이는 $p$ 이다. $p^2$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 더보기 정답 $192$
좌표평면 위의 두 점 $\rm A \left ( 2\sqrt{2}, \; -\sqrt{2} \right )$, $\rm B \left ( -\sqrt{2}, \; 2\sqrt{2} \right )$ 에 대하여 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overrightarrow{\rm OP} = (1-t) \overrightarrow{\rm OA} + t \overrightarrow{\rm OB}$ 이고 $\dfrac{2}{3} \le t \le 1$ 이다. (나) $\left | \overrightarrow{\rm OQ} \right | = \left | \overrightarrow{\rm OA} \right |$ 이고 $\overrightarrow{\rm OQ} \cdot..
좌표평면 위의 두 점 ${\rm A}(6, \; 0), \; {\rm B}(6, \; 5)$ 와 음이 아닌 실수 $k$ 에 대하여 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overrightarrow{\rm OP} = k \left ( \overrightarrow{\rm OA} + \overrightarrow{\rm OB} \right )$ 이고 $\overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm OA} \le 21$ 이다. (나) $\left | \overrightarrow{\rm AQ} \right | = \left | \overrightarrow{\rm AB} \right |$ 이고 $\overrightarrow{\rm OQ} \c..
그림과 같이 포물선 $y^2=16x$ 의 초점을 $\rm F$ 라 하자. 점 $\rm F$ 를 한 초점으로 하고 점 ${\rm A}(-2, \; 0)$ 을 지나며 다른 초점 $\rm F'$ 이 선분 $\rm AF$ 위에 있는 타원 $E$ 가 있다. 포물선 $y^2=16x$ 가 타원 $E$ 와 제1사분면에서 만나는 점을 $\rm B$ 라 하자. $\overline{\rm BF}=\dfrac{21}{5}$ 일 때, 타원 $E$ 의 장축의 길이는 $k$ 이다. $10k$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $66$