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목록기하 - 문제풀이 (183)
수악중독
좌표공간에 정사면체 $\rm ABCD$ 가 있다. 정삼각형 $\rm BCD$ 의 외심을 중심으로 하고 점 $\rm B$ 를 지나는 구를 $S$ 라 하자. 구 $S$ 와 선분 $\rm AB$ 가 만나는 점 중 $\rm B$ 가 아닌 점을 $\rm P$, 구 $S$ 와 선분 $\rm AC$ 가 만나는 점 중 $\rm C$ 가 아닌 점을 $\rm Q$, 구 $S$ 와 선분 $\rm AD$ 가 만나는 점 중 $\rm D$ 가 아닌 점을 $\rm R$ 라 하고, 점 $\rm P$ 에서 구 $S$ 에 접하는 평면을 $\alpha$ 라 하자. 구 $S$ 의 반지름의 길이가 $6$ 일 때, 삼각형 $\rm PQR$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이는 $k$ 이다. $k^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답..
그림과 같이 한 평면 위에 반지름의 길이가 $4$ 이고 중심각의 크기가 $120^{\rm o}$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 와 중심이 $\rm C$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 $C$ 가 있고, 세 벡터 $\overrightarrow{\rm OA}$, $\overrightarrow{\rm OB}$, $\overrightarrow{\rm OC}$ 가 $$\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OC}=24, \quad \overrightarrow{\rm OB} \cdot \overrightarrow{\rm OC}=0$$ 을 만족시킨다. 호 $\rm AB$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 와 원 $C$ 위를 움직이는 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\o..
두 점 ${\rm F}_1(4, \; 0)$, $\rm F_2(-6, \; 0)$ 에 대하여 포물선 $y^2=16x$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\rm P$ 가 $\overline{\rm PF_2}-\overline{\rm PF_1}=6$ 을 만족시킨다. 포물선 $y^2=16x$ 위의 점 $\rm P$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm F_3$ 이라 하면 두 점 $\rm F_1, \; F_3$ 을 초점으로 하는 타원의 한 꼭짓점은 선분 $\rm PF_3$ 위에 있다. 이 타원의 장축의 길이가 $2a$ 일 때, $a^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $54$
그림과 같이 한 변의 길이가 $4$ 인 정삼각형을 밑면으로 하고 높이가 $4+2\sqrt{3}$ 인 정삼각기둥 $\rm ABC-DEF$ 와 $\overline{\rm DG}=4$ 인 선분 $\rm AD$ 위의 점 $\rm G$ 가 있다. 점 $\rm H$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 삼각형 $\rm CGH$ 의 평면 $\rm ADEB$ 위로의 정사영은 정삼각형이다. (나) 삼각형 $\rm CGH$ 의 평면 $\rm DEF$ 위로의 정사영의 내부와 삼각형 $\rm DEF$ 의 내부의 공통부분의 넓이는 $2 \sqrt{3}$ 이다. 삼각형 $\rm CGH$ 의 평면 $\rm ADFC$ 위로의 정사영의 넓이를 $S$ 라 할 때, $S^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $48$
점 $\rm F$ 를 초점으로 하고 직선 $l$ 을 준선으로 하는 포물선이 있다. 포물선 위의 두 점 $\rm A, \; B$ 와 점 $\rm F$ 를 지나는 직선이 직선 $l$ 과 만나는 점을 $\rm C$ 라 하자. 두 점 $\rm A, \; B$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm H, \; I$ 라 하고 점 $\rm B$ 에서 직선 $\rm AH$ 에 내린 수선의 발을 $\rm J$ 라 하자. $\dfrac{\overline{\rm BJ}}{\overline{\rm BI}}=\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$ 이고 $\overline{\rm AB}=8\sqrt{5}$ 일 때, 선분 $\rm HC$ 의 길이는? ① $21\sqrt{3}$ ② $22\sqrt{3}$ ③ $23\..
좌표공간에 점 $(4, \; 3, \; 2)$ 를 중심으로 하고 원점을 지나는 구 $$S:(x-4)^2+(y-3)^2+(z-2)^2=29$$ 가 있다. 구 $S$ 위의 점 ${\rm P}(a, \; b, \; 7)$ 에 대하여 직선 $\rm OP$ 를 포함하는 평면 $\alpha$ 가 구 $S$ 와 만나서 생기는 원을 $C$ 라 하자. 평면 $\alpha$ 와 원 $C$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 $\rm OP$ 와 $xy$ 평면이 이루는 각의 크기와 평면 $\alpha$ 와 $xy$ 평면이 이루는 각의 크기는 같다. (나) 선분 $\rm OP$ 는 원 $C$ 의 지름이다 $a^2+b^2
좌표평면 위의 세 점 ${\rm A}(6, \;0)$, ${\rm B}(2, \; 6)$, ${\rm C}(k, \; -2k)$, $(k>0)$ 과 삼각형 $\rm ABC$ 의 내부 또는 변 위의 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $5 \overrightarrow{\rm BA} \cdot \overrightarrow{\rm OP} - \overrightarrow{\rm OB} \cdot \overrightarrow{\rm AP} = \overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OB}$ (나) 점 $\rm P$ 가 나타내는 도형의 길이는 $\sqrt{5}$ 이다. $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarr..
실수 $p \; (p \ge 1)$ 과 함수 $f(x)=(x+a)^2$ 에 대하여 두 포물선 $$C_1 : y^2=4x, \quad C_2 : (y-3)^2=4p\{x-f(p)\}$$ 가 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\rm A$ 라 하자. 두 포물선 $C_1, \; C_2$ 의 초점을 각각 $\rm F_1, \; F_2$ 라 할 때, $\overline{\rm AF_1}=\overline{\rm AF_2}$ 를 만족시키는 $p$ 가 오직 하나가 되도록 하는 상수 $a$ 의 값은? ① $-\dfrac{3}{4}$ ② $-\dfrac{5}{8}$ ③ $-\dfrac{1}{2}$ ④ $-\dfrac{3}{8}$ ⑤ $-\dfrac{1}{4}$ 더보기 정답 ①
좌표공간에 두 개의 구 $$S_1 : x^2+y^2 +(z-2)^2=4, \quad S_2 : x^2 +y^2+(z+7)^2=49$$ 가 있다. 점 ${\rm A} \left ( \sqrt{5}, \; 0, \; 0 \right )$ 을 지나고 $zx$ 평면에 수직이며, 구 $S_1$ 과 $z$ 좌표가 양수인 한 점에서 접하는 평면을 $\alpha$ 라 하자. 구 $S_2$ 가 평면 $\alpha$ 와 만나서 생기는 원을 $C$ 라 할 때, 원 $C$ 위의 점 중 $z$ 좌표가 최소인 점을 $\rm B$ 라 하고 구 $S_2$ 와 점 $\rm B$ 에서 접하는 평면을 $\beta$ 라 하자. 원 $C$ 의 평면 $\beta$ 위로의 정사영의 넓이가 $\dfrac{q}{p}\pi$ 일 때, $p+q$ 의 ..
좌표평면 위에 두 점 $\rm A(-2, \; 2), \; B(2, \; 2)$ 가 있다. $$\left ( \left | \overrightarrow{\rm AX} \right | -2 \right ) \left ( \left | \overrightarrow{\rm BX} \right | -2 \right ) = 0, \quad \left | \overrightarrow{\rm OX} \right | \ge 2 $$ 를 만족시키는 점 $\rm X$ 가 나타내는 도형 위를 움직이는 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overrightarrow{u} = (1, \; 0)$ 에 대하여 $\left ( \overrightarrow{\rm OP} \cdot \overright..