정사영과 넓이_난이도 상 (2021년 11월 수능 기하 30번)

좌표공간에 중심이 $\rm C \left (2, \; \sqrt{5}, \; 5 \right )$ 이고 점 $\rm P(0, \; 0, \; 1)$ 을 지나는 구 $$S \; : \; (x-2)^2+ \left (y-\sqrt{5} \right )^2 +(z-5)^2=25$$ 가 있다. 구 $S$ 가 평면 $\rm OPC$ 와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점 $\rm Q$, 구 $S$ 위를 움직이는 점 $\rm R$ 에 대하여 두 점 $\rm Q, \; R$ 의 $xy$ 평면 위로의 정사영을 각각 $\rm Q_1, \; R_1$ 이라 하자.

삼각형 $\rm OQ_1R_1$ 의 넓이가 최대가 되도록 하는 두 점 $\rm Q, \; R$ 에 대하여 삼각형 $\rm OQ_1R_1$ 의 평면 $\rm PQR$ 위로의 정사영의 넓이는 $\dfrac{q}{p}\sqrt{6}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. 

(단, $\rm O$ 는 원점이고 세 점 $\rm O, \; Q_1, \; R_1$ 은 한 직선 위에 있지 않으면, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

정답 $23$