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목록기하 - 문제풀이 (187)
수악중독
좌표평면 위의 세 점 ${\rm A}(6, \;0)$, ${\rm B}(2, \; 6)$, ${\rm C}(k, \; -2k)$, $(k>0)$ 과 삼각형 $\rm ABC$ 의 내부 또는 변 위의 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $5 \overrightarrow{\rm BA} \cdot \overrightarrow{\rm OP} - \overrightarrow{\rm OB} \cdot \overrightarrow{\rm AP} = \overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OB}$ (나) 점 $\rm P$ 가 나타내는 도형의 길이는 $\sqrt{5}$ 이다. $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarr..
실수 $p \; (p \ge 1)$ 과 함수 $f(x)=(x+a)^2$ 에 대하여 두 포물선 $$C_1 : y^2=4x, \quad C_2 : (y-3)^2=4p\{x-f(p)\}$$ 가 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\rm A$ 라 하자. 두 포물선 $C_1, \; C_2$ 의 초점을 각각 $\rm F_1, \; F_2$ 라 할 때, $\overline{\rm AF_1}=\overline{\rm AF_2}$ 를 만족시키는 $p$ 가 오직 하나가 되도록 하는 상수 $a$ 의 값은? ① $-\dfrac{3}{4}$ ② $-\dfrac{5}{8}$ ③ $-\dfrac{1}{2}$ ④ $-\dfrac{3}{8}$ ⑤ $-\dfrac{1}{4}$ 더보기 정답 ①
좌표공간에 두 개의 구 $$S_1 : x^2+y^2 +(z-2)^2=4, \quad S_2 : x^2 +y^2+(z+7)^2=49$$ 가 있다. 점 ${\rm A} \left ( \sqrt{5}, \; 0, \; 0 \right )$ 을 지나고 $zx$ 평면에 수직이며, 구 $S_1$ 과 $z$ 좌표가 양수인 한 점에서 접하는 평면을 $\alpha$ 라 하자. 구 $S_2$ 가 평면 $\alpha$ 와 만나서 생기는 원을 $C$ 라 할 때, 원 $C$ 위의 점 중 $z$ 좌표가 최소인 점을 $\rm B$ 라 하고 구 $S_2$ 와 점 $\rm B$ 에서 접하는 평면을 $\beta$ 라 하자. 원 $C$ 의 평면 $\beta$ 위로의 정사영의 넓이가 $\dfrac{q}{p}\pi$ 일 때, $p+q$ 의 ..
좌표평면 위에 두 점 $\rm A(-2, \; 2), \; B(2, \; 2)$ 가 있다. $$\left ( \left | \overrightarrow{\rm AX} \right | -2 \right ) \left ( \left | \overrightarrow{\rm BX} \right | -2 \right ) = 0, \quad \left | \overrightarrow{\rm OX} \right | \ge 2 $$ 를 만족시키는 점 $\rm X$ 가 나타내는 도형 위를 움직이는 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overrightarrow{u} = (1, \; 0)$ 에 대하여 $\left ( \overrightarrow{\rm OP} \cdot \overright..
그림과 같이 ${\rm F}(6, \; 0), \; {\rm F'}(-6, \; 0)$ 을 두 초점으로 하는 타원 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 이 있다. 점 ${\rm A} \left (\dfrac{3}{2}, \; 0 \right )$ 에 대하여 $\angle {\rm FPA} = \angle {\rm F'PA}$ 를 만족시키는 타원의 제$1$사분면 위의 점을 $\rm P$ 라 할 때, 점 $\rm F$ 에서 직선 $\rm AP$ 에 내린 수선의 발을 $\rm B$ 라 하자. $\overline{\rm OB}=\sqrt{3}$ 일 때, $a \times b$ 의 값은? (단, $a>0, \; b>0$ 이고 $\rm O$ 는 원점이다.) ① $16$ ② $20$ ③..
평면 위에 한 변의 길이가 $6$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 의 무게중심 $\rm O$ 에 대하여 $\overrightarrow {\rm OD} = \dfrac{3}{2} \overrightarrow{\rm OB} - \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\rm OC}$ 를 만족시키는 점을 $\rm D$ 라 하자. 선분 $\rm CD$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\left | 2 \overrightarrow{\rm PA} + \overrightarrow{\rm PD} \right |$ 의 값이 최소가 되도록 하는 점 $\rm P$ 를 $\rm Q$ 라 하자. $\left | \overrightarrow{\rm OR} \right |=\left | \overrightarrow{\..
공간에서 중심이 $\rm O$ 이고 반지름의 길이가 $4$ 인 구와 점 $\rm O$ 를 지나는 평면 $\alpha$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 와 구가 만나서 생기는 원 위의 서로 다른 세 점 $\rm A, \; B, \; C$ 에 대하여 두 직선 $\rm OA, \; BC$ 가 서로 수직일 때, 구 위의 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\angle {\rm PAO} = \dfrac{\pi}{3}$ (나) 점 $\rm P$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영은 선분 $\rm OA$ 위에 있다. $\cos (\angle {\rm PAB})=\dfrac{\sqrt{10}}{8}$ 일 때, 삼각형 $\rm PAB$ 의 평면 $\rm PAC$ 위로의 정사영의 넓이를 $S$ 라 ..
좌표평면에서 직선 $y=2x-3$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 가 있다. 두 점 ${\rm A}(c, \; 0)$, ${\rm B}(-c, \; 0)\; (c>0)$ 에 대하여 $\overline{\rm PB}-\overline{\rm PA}$ 의 값이 최대가 되도록 하는 점 $\rm P$ 의 좌표가 $(3, \; 3)$ 일 때, 상수 $c$ 의 값은? ① $\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$ ② $\dfrac{3\sqrt{7}}{2}$ ③ $3\sqrt{2}$ ④ $\dfrac{9}{2}$ ⑤ $\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$ 더보기 정답 ①
초점이 $\rm F$ 인 포물선 $y^2=8x$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\rm P$ 를 지나고 $x$ 축과 평행한 직선이 포물선 $y^2=8x$ 의 준선과 만나는 점을 $\rm F'$ 라 하자. 점 $\rm F'$ 을 초점, 점 $\rm P$ 를 꼭짓점으로 하는 포물선이 포물선 $y^2=8x$ 와 만나는 점 중 $\rm P$ 가 아닌 점을 $\rm Q$ 라 하자. 사각형 $\rm PF'QF$ 의 둘레의 길이가 $12$ 일 때, 삼각형 $\rm PF'Q$ 의 넓이는 $\dfrac{q}{p}\sqrt{2}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm P$ 의 $x$ 좌표는 $2$ 보다 작고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $23$
좌표평면에서 한 변의 길이가 $4$ 인 정육각형 $\rm{ABCDEF}$의 변 위를 움직이는 점 $\rm {P}$ 가 있고, 점 $\rm {C}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 위를 움직이는 점 $\rm Q$ 가 있다. 두 점 $\rm P, \; Q$ 와 실수 $k$ 에 대하여 점 $\rm X$가 다음 조건을 만족시킬 때, $\left | \overrightarrow{\rm CX} \right |$ 의 값이 최소가 되도록 하는 $k$ 의 값을 $\alpha$, $\left | \overrightarrow{\rm CX} \right |$ 의 값이 최대가 되도록 하는 $k$ 의 값을 $\beta$ 라 하자. (가) $\overrightarrow{\rm CX} = \dfrac{1}{2} \ov..