쌍곡선의 정의&쌍곡선의 접선_난이도 중상 (2022년 4월 전국연합 고3 기하 30번)

그림과 같이 두 점 $\rm F(c, \; 0), \; F'(-c, \; 0)\; (c>0)$을 초점으로 하는 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{10}-\dfrac{y^2}{a^2}=1$이 있다. 쌍곡선 위의 점 중 제2사분면에 있는 점 $\rm P$에 대하여 삼각형 $\rm F'FP$는 넓이가 $15$이고 $\angle \rm F'PF=\dfrac{\pi}{2}$인 직각삼각형이다. 직선 $\rm PF'$과 평행하고 쌍곡선에 접하는 두 직선을 각각 $l_1, \; l_2$라 하자. 두 직선 $l_1, \; l_2$가 $x$축과 만나는 점을 각각 $\rm Q_1, \; Q_2$라 할 때, $\overline{\rm Q_1Q_2}=\dfrac{q}{p}\sqrt{3}$이다.  $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이고, $a$는 양수이다.)

 

정답 $13$