그림과 같이 두 점 $\mathrm{F}(5, \; 0), \; \mathrm{F'}(-5, \; 0)$ 을 초점으로 하는 타원이 $x$ 축과 만나는 점 중 $x$ 좌표가 양수인 점을 $\mathrm{A}$ 라 하자. 점 $\mathrm{F}$ 를 중심으로 하고 점 $\mathrm{A}$ 를 지나는 원을 $C$ 라 할 때, 원 $C$ 위의 점 중 $y$ 좌표가 양수인 점 $\mathrm{P}$ 와 타원 위의 점 중 제$2$사분면에 있는 점 $\mathrm{Q}$ 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 직선 $\mathrm{PF'}$ 은 원 $C$ 에 접한다.
(나) 두 직선 $\mathrm{PF', \; QF'}$ 은 서로 수직이다.
$\overline{\mathrm{QF'}}=\dfrac{3}{2}\overline{\mathrm{PF}}$ 일 때, 이 타원의 장축의 길이는? (단, $\overline{\mathrm{AF}}<\overline{\mathrm{FF'}}$ )
① $\dfrac{25}{2}$ ② $13$ ③ $\dfrac{27}{2}$ ④ $14$ ⑤ $\dfrac{29}{2}$
