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수악중독

수학1_수열의 극한_무한대/무한대꼴_난이도 중 본문

(8차) 수학1 질문과 답변/수열의 극한

수학1_수열의 극한_무한대/무한대꼴_난이도 중

수악중독 2012. 10. 12. 22:48

한 변의 길이가 \(1\) 인 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 변 \(\rm BC\) 위에 양 끝점이 아닌 한 점 \(\rm P_0\) 를 잡는다. 그림과 같이 \(\rm P_0\) 을 지나고 변 \(\rm AB\) 와 평행한 직선을 그어 변 \(\rm AC\) 와 만나는 점을 \(\rm P_1\) , 점 \(\rm P_1\) 을 지나고 변 \(\rm BC\) 와 평행한 직선을 그어 변 \(\rm AB\) 와 만나는 점을 \(\rm P_2\), 점 \(\rm P_2\) 를 지나고 변 \(\rm AC\) 와 평행한 직선을 그어 변 \(\rm BC\) 와 만나는 점을 \(\rm P_3\) 이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 점을 \(\rm P_{\it n}\) 이라 하고, 점 \(\rm P_0\) 을 출발하여 점 \(\rm P_{\it n}\) 까지 이동한 거리 \(l_n\) 을 \[ l_n = \overline{\rm P_0 P_1} +\overline{\rm P_1 P_2} +\overline{\rm P_2 P_3} + \cdots + \overline{\rm P_{{\it n}-1} P_{\it n}} \;\; (n=1,\; 2,\;3,\; \cdots)\] 이라 하자.

\(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{l_{2n}}{2n+1}=\dfrac{b}{a}\) 일 때, \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(a,\;b\) 는 서로소인 자연수이다.)

  



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