수학1_무한급수_도형과 무한등비급수_난이도 상

한 변의 길이가 $1$인 정육각형에서 서로 이웃하지 않는 세 변의 중점과 이 정육각형에 외저접하는 원의 중심을 각각 연결하여 세 선분을 얻는다. 이 세 선분을 각각 가장 긴 대각선으로 하는 $3$ 개의 정육각형을 그려서 얻은 삼각형 벌집 모양의 그림을 $H_1$ 이라 하고, 그림 $H_1$ 의 넓이를 $S_1$ 이라 하자.

그림 $H_1$ 에서 새로 그려진 세 정육각형 내부에 각각 그림 $H_1$ 을 얻은 것과 같은 방법으로 그려서 얻은 $3$ 개의 삼각형 벌집 모양의 그림을 $H_2$ 라 하고, 그림 $H_2$ 의 넓이를 $S_2$ 라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 그려서 얻은 $3^{n-1}$ 개의 삼각형 벌집 모양의 그림을 $H_n$ 이라 하고, 그림 $H_n$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n$ 의 값은?

 

 

① $\dfrac{27}{11}\sqrt{3}$          ② $\dfrac{9}{4}\sqrt{3}$          ③ $\dfrac{27}{13}\sqrt{3}$          ④ $\dfrac{27}{14}\sqrt{3}$          ⑤ $\dfrac{9}{5}\sqrt{3}$

 

 

정답 ④