수학1_무한급수_도형과 무한등비급수_난이도 상

한 변의 길이가 \(1\)인 정육각형에서 서로 이웃하지 않는 세 변의 중점과 이 정육각형에 외저접하는 원의 중심을 각각 연결하여 세 선분을 얻는다. 이 세 선분을 각각 가장 긴 대각선으로 하는 \(3\) 개의 정육각형을 그려서 얻은 삼각형 벌집 모양의 그림을 \(H_1\) 이라 하고, 그림 \(H_1\) 의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자.

그림 \(H_1\) 에서 새로 그려진 세 정육각형 내부에 각각 그림 \(H_1\) 을 얻은 것과 같은 방법으로 그려서 얻은 \(3\) 개의 삼각형 벌집 모양의 그림을 \(H_2\) 라 하고, 그림 \(H_2\) 의 넓이를 \(S_2\) 라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 그려서 얻은 \(3^{n-1}\) 개의 삼각형 벌집 모양의 그림을 \(H_n\) 이라 하고, 그림 \(H_n\) 의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n\) 의 값은?

 

 

① \(\dfrac{27}{11}\sqrt{3}\)          ② \(\dfrac{9}{4}\sqrt{3}\)          ③ \(\dfrac{27}{13}\sqrt{3}\)          ④ \(\dfrac{27}{14}\sqrt{3}\)          ⑤ \(\dfrac{9}{5}\sqrt{3}\)

 

 

정답 ④